解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知 $f\left(e^x\right)=x e^{-x}$ ，则 $f(x)=$
设 $f\left(x^2-1\right)=\ln \frac{x^2}{x^2-2}$ ，且 $f[\varphi(x)]=\ln x$ ，求 $\varphi(x)$
已知 $y=2 x, x \in R$ ，则其反函数
判定 $f(x)=\frac{1-e^{-x}}{1+e^{-x}}$ 的奇偶性．
设 $g(x)=\left\{\begin{array}{ll}2-x, & x \leq 0 \\ x+2, & x>0\end{array}, f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^2, & x < 0 \\ -x, & x \geq 0\end{array}\right.\right.$ ，则复合函数 $g[f(x)]=$
已知 $f(x)=\sin x, f[\varphi(x)]=1-x^2$ ，则 $\varphi(x)=$ $\qquad$ ；其定义域为 $\qquad$
函数 $f\left(x+\frac{1}{x}\right)=\frac{x+x^3}{1+x^4}$ ，求 $f(x)$
判断函数 $f(x)=\frac{1}{2}\left(a^x+a^{-x}\right)$ 的奇偶性．
设 $f(x)$ 的定义域为 $R$ ，存在常数 $c \neq 0$ ，使 $f(x+c)=-f(x)$ ．证明 $f(x)$ 是周期函数．
函数 $y=\ln \left(x+\sqrt{x^2-1}\right) \quad(x \geq 1)$ 的反函数是