解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\frac{1}{n^2+\pi}+\frac{1}{n^2+2 \pi}+\cdots+\frac{1}{n^2+n \pi}\right)=1$ ．
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\arcsin x}{x}$ ．
求 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^x$ ．
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos 2 x}{x \sin x}$ ；
$\lim _{n \rightarrow \infty} 2^n \sin \frac{x}{2^n}$（ $x$ 为不等于零的常数）．
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{1+x}{x}\right)^{2 x}$ ；
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^{k x}(k$ 为正整数 $)$ ．
求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{\left(1+x^2\right)}-1}{\cos x-1}$ ．
求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x^3+3 x}$ ．
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x-\tan x}{\left(\sqrt[3]{1+x^2}-1\right)(\sqrt{1+\sin x}-1)}$ ．