单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)=2^x+3^x-2$ ，则当 $x \rightarrow 0$ 时，有（）
$\text{A.}$ $f(x)$ 与 $x$ 是等价无穷小．
$\text{B.}$ $f(x)$ 与 $x$ 同阶但非等价无穷小．
$\text{C.}$ $f(x)$ 是比 $x$ 高阶的无穷小．
$\text{D.}$ $f(x)$ 是比 $x$ 低阶的无穷小．
设 $f(x)=\frac{e^{\frac{1}{x}}-1}{e^{\frac{1}{x}}+1}$ ，则 $x=0$ 是 $f(x)$ 的（ ）
$\text{A.}$ 可去间断点．
$\text{B.}$ 跳跃间断点．
$\text{C.}$ 第二类间断点．
$\text{D.}$ 连续点．
解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
$\lim _{x \rightarrow+\infty} x\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-\sin x}{x^3}$ ．
$\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{a^x+b^x+c^x}{3}\right)^{\frac{1}{x}}(a>0, b>0, c>0)$ ．
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \tan x}{\sqrt{1-x^2}-1}$
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x \sin \frac{1}{x} & x>0 \\ a+x^2 & x \leq 0\end{array}\right.$ ，要使 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，应怎样选择数 $a$ ？
设 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1+x}{1+x^{2 n}}$
求 $f(x)$ 的间断点，并说明间断点所属类型．
证明 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}\right)=1$ ．
证明方程 $\sin x+x+1=0$ 在开区间 $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 内至少有一个根．
证明方程 $x^5-3 x=1$ 至少有一个根介于 1 和 2 之间．
证明方程 $x=a \sin x+b$ ，其中 $a>0, b>0$ ，至少有一个正根，并且它不超过 $a+b$ ．