解答题 （共 13 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left(\sqrt{1+\frac{1}{n}}+\sqrt{1+\frac{2}{n}}+\cdots+\sqrt{1+\frac{n}{n}}\right)$ ；
设 $f(x)=\frac{1}{1+x^2}+x^3 \int_0^1 f(x) d x$ ，则 $\int_0^1 f(x) d x=$
证明积分中值定理：若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，则在闭区间 $[a, b]$ 内至少存在一点 $\xi$ ，使
$$
\int_a^b f(x) d x=f(\xi)(b-a)(a \leq \xi \leq b)
$$
计算 $\int_0^1 \sqrt{1-x^2} d x=\frac{\pi}{4}$ ；
$\int_{-\pi}^\pi \sin x d x=0$
$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x d x=2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x d x$
计算导数 $\frac{d}{d x} \int_{\sin x}^{\cos x} \cos \left(\pi t^2\right) d t$
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^2, & 0 \leq x \leq 1 \\ x-1, & 1 < x \leq 2\end{array}\right.$ ，求 $\varphi(x)=\int_0^x f(t) d t$ 在 $[0,2]$ 上的表达式，并讨论 $\varphi(x)$ 在 $(0,2)$ 内的连续性及可导性．
计算定积分 $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan ^2 \theta d \theta$ ．
求由 $\int_0^y e^t d t+\int_0^x \cos t d t=0$ 所决定的隐函数 $y$ 对 $x$ 的导数 $\frac{d y}{d x}$
求导 $\frac{d}{d x} \int_0^{x^2} \sqrt{1+t^2} d t$ ；
求导 $\frac{d}{d x} \int_{x^2}^{x^3} \frac{1}{\sqrt{1+t^4}} d t$ ；
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(\int_0^x e^{t^2} d t\right)^2}{\int_0^x t e^{2 t^2} d t}$ ．