解答题 （共 22 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求微分方程 $y^{\prime \prime}-y^{\prime}-6 y=0$ 的通解．
求方程 $\frac{d^2 s}{d t^2}+2 \frac{d s}{d t}+s=0$ 满足初始条件 $\left.s\right|_{t=0}=4,\left.s^{\prime}\right|_{t=0}=-2$ 的特解．
求微分方程 $y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+5 y=0$ 的通解．
$y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=0$ ；
$y^{\prime \prime}+6 y^{\prime}+13 y=0$ ；
$y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+3 y=0,\left.y\right|_{x=0}=6,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=10$ ；
$4 y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+y=0,\left.y\right|_{x=0}=2,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=0$ ；
$y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+29 y=0,\left.y\right|_{x=0}=0,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=15$
求微分方程 $y^{\prime \prime}+5 y^{\prime}+4 y=3-2 x$ 的一个特解．
求微分方程 $y^n+3 y^{\prime}+2 y=3 x e^{-x}$ 的通解．
求微分方程 $y^{\prime \prime}+4 y=x \cos x$ 的一个特解．
求微分方程 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+5 y=e^x \sin 2 x$ 的一个特解．
$2 y^{\prime \prime}+y^{\prime}-y=2 e^x$ ；
$y^{\prime \prime}+a^2 y=e^x$ ；
$y^{\prime \prime}+y+\sin x=0,\left.y\right|_{x=\pi}=1,\left.y^{\prime}\right|_{x=\pi}=1$ ；
$y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}=5,\left.y\right|_{x=0}=1,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=0$ ．
$x y^{\prime}+y=2 \sqrt{x y}$
$x y^{\prime} \ln x+y=a x(\ln x+1)$
$y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+5 y=\sin 2 x$
求微分方程 $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=\cos x$ ，满足初始条件 $y(0)=0, y^{\prime}(0)=\frac{3}{2}$ 的特解．
已知某曲线经过点 $(1,1)$ ，它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求它的方程．
设可导函数 $\varphi(x)$ 满足 $\varphi(x) \cos x+2 \int_0^x \varphi(t) \sin t d t=x+1$ ，求 $\varphi(x)$ ．