单选题 （共 1 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x, y)=e^{\sqrt{x^2+y^4}}$ ，则函数在原点偏导数存在的情况是（ ）
$\text{A.}$ $f_x^{\prime}(0,0)$ 存在，$f_y^{\prime}(0,0)$ 存在．
$\text{B.}$ $f_x^{\prime}(0,0)$ 不存在，$f_y^{\prime}(0,0)$ 存在．
$\text{C.}$ $f_x^{\prime}(0,0)$ 存在，$f_y^{\prime}(0,0)$ 不存在．
$\text{D.}$ $f_x^{\prime}(0,0)$ 不存在，$f_y^{\prime}(0,0)$ 不存在．
解答题 （共 12 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x, y)=\left(x^2+y^2\right)^{\frac{3}{2}} \sin \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}$ ，求 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0.0)} f(x, y)$
求极限 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{2-\sqrt{x y+4}}{x y}$
求 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,2)} \frac{\sqrt{1+x y}-1}{x}$
证明 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}=0$ ．
设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x y^2}{x^2+y^4}, x^2+y^4 \neq 0 \\ 0, \quad x^2+y^4=0 .\end{array}\right.$ ，判断 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 的连续性
求极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow \infty \\ y \rightarrow a}}\left(1+\frac{1}{x y}\right)^{\frac{x^2}{x+y}}(a \neq 0)$
证明极限 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^2 y^2}{x^2 y^2+(x-y)^2}$ 不存在．
设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^2 y^2}{x^2+y^2}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & 0\end{array}\right.$ ，求 $f_x^{\prime}(0,0), f_y^{\prime}(0,0)$
已知 $f(x, y)=\frac{2 x+3 y}{1+x y \sqrt{x^2+y^2}}$ ，求 $f_x^{\prime}(0,0), f_y^{\prime}(0,0)$
验证函数 $z=\ln \sqrt{x^2+y^2}$ 满足方程：$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=0$
设 $z=f\left(e^x \sin y, x^2+y^2\right)$ ，其中 $f$ 具有二阶连续偏导数，求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$
验证：$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ 满足 $\frac{\partial^2 r}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 r}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 r}{\partial z^2}=\frac{2}{r}$ ．