解答题 （共 19 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
甲乙丙丁四人进行乒乓球双打练习，两人一对地结为对打的双方，有多少种不同的结对方式？
欲将 6 个人分为 3 组，每组 2 人，分别从事 3 项不同工作，求分配方式数．
要把 7 人分为 3 个小组，执行同一种任务，其中一个组 3 人，另两个组各 2 人，求分组方式数．
一批产品有 $N$ 个，其中废品有 $M$ 个。现从中随机取出 $n$ 个，在以下两种情形下，分别求 ＂其中恰好有 $m$ 个废品＂这一事件的概率。
（1）有放回地选取；
（2）不放回地选取
$n$ 个男生，$m$ 个女生排成一排 $(m \leq n+1)$ ．求事件 $A=\{$ 任意两个女孩不相邻 $\}$ 的概率。又若排成一圈，又如何？
$r$ 个不同的球任意放入编号为 1 至 $n$ 的 $n$ 个盒子，每球入各盒均等可能，求下列事件的概率
（1）$A=\{$ 指定的 $r$ 个盒子各含一个球 $\}$
（2）$B=\{$ 每盒至多有一球 $\}$
（3）$C=\{$ 某指定盒中恰有 $m$ 个球 $\}$
设有方程 $x+y+z=15$ ，试分别求出它的正整数解和非负整数解 $(x, y, z)$ 的组数．
设有 $n$ 个人随机地坐到礼堂第一排 $N$ 个座位上去，试求下列事件的概率：（1）任何人都没有邻座；（2）每人恰有一个邻座；（3）关于中央座位对称的两个座位至少有一个空着。
罐中放有 7 个白球和 3 个黑球，从中无放回地随机抽取 3 个球．已知其中之一是黑球，试求其余二球都是白球的概率
将 $n$ 根短绳的 $2 n$ 个端头任意两两连接，试求恰好连成 $n$ 个圈的概率．
某工厂的第一，二，三号车间生产同一产品，产量各总占产量的 $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{6}$ ，次品率分别为 $1 \%, 1 \%$ 和 $2 \%$ ．现从该厂产品中随机抽取一件，试求该产品是次品的概率．
罐中放有 $a$ 个白球和 $b$ 个黑球，每次从罐中随机抽取一个球，并连同 $c$ 个同色球一起放回罐中，如此反复进行．试证明：在第 $n$ 次取球时取出白球的概率为 $\frac{a}{a+b}$ ．
某种疾病的患病率为 $0.5 \%$ ，通过验血诊断该病的误诊率为 $5 \%$（即非患者中有 $5 \%$ 的人验血结果为阳性，患者中有 $5 \%$ 的人验血结果为阴性）。现知某人验血结果为阳性，试求他确患有此病的概率。
甲乙二人相互独立地各自抛掷一枚均匀的硬币，试求在分别批掷 $n$ 次之后，两人掷出的正面次数相等的概率。
一个计算机网络上的节点 $A, B$ 通过节点 $C, D, E, F$ 连接起来，如图所示。假定任何两个直接相连的节点，记为 $i, j$ ，通路的概率是 $p_{i j}$ 。并假定任何两个连接失效是相互独立的。求 $A, B$ 是通路的概率。
口袋中有 $a$ 个黑球和 $b$ 个白球，他们除颜色不同外，其他方面没有任何区别。现把球随机的一个一个摸出来，求第 $k$ 次摸得一个黑球的概率。
一罐内有 $a$ 个黑球和 $b$ 个白球，从中任意取一球，如果是白球则将它放回去，如果是黑球，则从另一罐内取一白球替换它放回去。在重复 $n$ 次这样的做法后，求第 $n+1$ 次取出的是白球的概率。
参加集会的 $n$ 个人将他们的帽子放在一起，会后每人任取一顶帽子戴上．求恰有 $k$ 个人戴对自己的帽子的概率。
要给 $n$ 个单位发会议通知，由两个人分别在通知上写单位名称和写信封．如果写完之后，随机地把通知装入信封。试求下述各事件的概率：（1）恰有 $k$ 份通知装对信封；（2）至少有 $m$ 份通知装对信封。