解答题 （共 11 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
根据二重积分的性质，比较下列积分大小： $\iint_D(x+y)^2 d \sigma$ 与 $\iint_D(x+y)^3 d \sigma$ ，其中积分区域 $D$ 是由 $x$ 轴，$y$ 轴与直线 $x+y=1$ 所围成
求极限 $\lim _{r \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{\pi r^2} \iint_{x^2+y^2 \leq 2 r^2} e^{x y^2} \cos \left(x^2-y\right) d x d y$
根据二重积分的性质，比较下列积分大小：$\iint_D \ln (x+y) d \sigma$ 与 $\iint_D[\ln (x+y)]^2 d \sigma$ ，其中 $D$ 是三角形闭区域，三角顶点分别为 $(1,0)$ ， $(1,1),(2,0)$ ．
计算 $\iint_D \frac{x^2}{y^2} d x d y$ ，其中 $D$ 是由直线 $x=2, y=x$ 及曲线 $x y=1$ 所围成的闭区域．
利用极坐标计算 $\iint_D \arctan \frac{y}{x} d \sigma$ ，其中 $D$ 是由圆周 $x^2+y^2=4, x^2+y^2=1$ 及直线 $y=0, y=x$ 所围成的第一象限内的闭区域．
改换下列二次积分的积分次序：
（1） $\int_0^1 d y \int_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}} f(x, y) d x$ ．
（2） $\int_0^\pi d x \int_{-\sin \frac{x}{2}}^{\sin x} f(x, y) d y$
计算 $\iint_D \sqrt{4 a^2-x^2-y^2} d x d y$ ，其中 $D$ 为半圆周 $y=\sqrt{2 a x-x^2}$ 及 $x$ 轴所围成的闭区域．
积分 $\int_0^2 d x \int_x^2 e^{-y^2} d y$ 的值
交换积分次序 $\int_0^{\frac{1}{4}} d y \int_y^{\sqrt{y}} f(x, y) d x+\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} d y \int_y^{\frac{1}{2}} f(x, y) d x$
计算 $\iint_D y\left(1+x e^{\frac{x^2+y^2}{2}}\right) d x d y$ ，其中平面区域 $D$ 由直线 $y=x, y=-1$ 及 $x=-1$ 所围成．
二重积分 $\iint_D \sqrt{\frac{1-x^2-y^2}{1+x^2+y^2}} d \sigma$ ，其中 $D$ 是由圆周 $x^2+y^2=1$ 及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域。