单选题 （共 4 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)=x^2-5 x+3, A =\left[\begin{array}{cc}2 & -1 \\ -3 & 3\end{array}\right]$ ，定义 $f( A )= A ^2-5 A +3 E$ ，称其为矩阵 $A$ 的多项式，则 $f( A )=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $\left[\begin{array}{ll}3 & 0 \\ 0 & 2\end{array}\right]$
$\text{B.}$ $\left[\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 3 & 3\end{array}\right]$
$\text{C.}$ $\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right]$
$\text{D.}$ $\left[\begin{array}{cc}2 & 3 \\ -1 & 0\end{array}\right]$
设 $A , B$ 均是 $n$ 阶矩阵，且 $A B = A + B$ ，则（ ）．
$\text{A.}$ $A - E$ 为可逆矩阵
$\text{B.}$ $A + E$ 为可逆矩阵
$\text{C.}$ $A -2 E$ 为可逆矩阵
$\text{D.}$ $B + E$ 为可逆矩阵
设 $A$ 是 3 阶矩阵，将 $A$ 的第1 列与第 2 列互换得到 $B$ ，再将 $B$ 的第 2 列加到第 3 列得到 $C$ ，则满足 $A Q= C$ 的可逆矩阵 $Q$ 为（ ）
$\text{A.}$ $\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right]$
$\text{B.}$ $\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$
$\text{C.}$ $\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right]$
$\text{D.}$ $\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$
若矩阵 $\left[\begin{array}{cccc}1 & 2 & -1 & 1 \\ 2 & 0 & t & 0 \\ 0 & -4 & 5 & -2\end{array}\right]$ 的秩为 2 ，则 $t=$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
填空题 （共 2 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $A$ 是 3 阶矩阵，已知 $A ^{-1}=\left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2\end{array}\right]$ ，则 $\left| A ^*\right|=$ $\qquad$ ．
设 $A , B$ 是 $n$ 阶方阵，$| A |=2,| B |=-4$ ，则 $\left|2 B ^* A ^{-1}\right|=$ $\qquad$
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $A =\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$ ，求 $A ^{10}$ ．
设 $A =\left[\begin{array}{cccc}1 & -1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & -1 & 1\end{array}\right]$ ，则 $A ^9=$ $\qquad$
已知 $A =\left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right]$ ，写出 $A$ 可逆的一个充要条件，当 $A$ 可逆时，求 $A ^{-1}$ ．
求矩阵 $A =\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ -3 & 2 & -5\end{array}\right]$ 的逆矩阵．
设矩阵
$$
A =\left[\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1 \\
-1 & -1 & 1 \\
0 & 2 & a
\end{array}\right], \quad B =\left[\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1 \\
0 & -1 & 2 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right]
$$
（1）当 $a$ 为何值时，矩阵 $A$ 和 $B$ 等价；
（2）当 $A$ 和 $B$ 等价时，求一个可逆矩阵 $P$ ，使得 $P A = B$ ．