单选题 （共 1 题 ），每题只有一个选项正确
已知 $| a |=2,| b |=\sqrt{2}$ ，且 $a \cdot b =2$ ，则 $| a \times b |=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ $2 \sqrt{2}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\text{D.}$ 1
填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
函数 $u=\ln \left(x+\sqrt{y^2+z^2}\right)$ 在点 $A(1,0,1)$ 处沿 $A$ 指向 $B(3,-2,2)$ 方向的方向导数为 $\qquad$ ．
解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知 $a =\{2,4,-4\}, b =\{-1,2,-2\}$ ，求 $a$ 与 $b$ 的角平分线向量且使其模为 $\sqrt{32}$ ．
求过点 $(-1,-4,3)$ 且与两直线 $L_1:\left\{\begin{array}{l}2 x-4 y+z=1 \\ x+3 y=-5\end{array}\right.$ 和 $L_2:\left\{\begin{array}{l}x=2+4 t \\ y=-1-t \\ z=-3+2 t\end{array}\right.$ 都垂直的直线．
求过点 $(-1,0,4)$ 且平行于平面 $3 x-4 y+z=10$ ，又与直线 $L_1: x+1=y-3=\frac{z}{2}$ 相交的直线方程．
求过直线 $L: \frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-3}=\frac{z-2}{2}$ 且垂直于平面 $\pi: 3 x+2 y-z-5=0$ 的平面方程
求以曲线 $\left\{\begin{array}{c}x^2+y^2+z^2=1 \\ x+y+z=0\end{array}\right.$ 为准线，母线平行于直线 $x=y=z$ 的柱面方程．
求直线 $L: \frac{x-1}{0}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{2}$ 绕 $z$ 轴旋转所得的旋转面方程．
求曲线 $L:\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2+z^2=a^2(a>0) \\ x^2+y^2=a x\end{array}\right.$ 在 $x O y$ 面和 $x O z$ 面上的投影曲线方程．
求曲面 $2^{\frac{x}{z}}+2^{\frac{y}{z}}=8$ 在点 $M_0(2,2,1)$ 处的切平面和法线方程．
求曲线 $x=t-\sin t, y=1-\cos t, z=4 \sin \frac{t}{2}$ 在点 $t=\frac{\pi}{2}$ 处的切线方程和法平面方程．
在椭球面 $2 x^2+2 y^2+z^2=1$ 上求一点，使函数 $u=x^2+y^2+z^2$ 在该点沿 $l =\{1,-1,0\}$ 方向的方向导数最大．