单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 为正项级数，下列结论中正确的是（ ）
$\text{A.}$ 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_n=0$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛．
$\text{B.}$ 若存在非零常数 $\lambda$ ，使得 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_n=\lambda$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 发散．
$\text{C.}$ 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} n^2 a_n=0$ ．
$\text{D.}$ 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 发散，则存在非零常数 $\lambda$ ，使得 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_n=\lambda$ ．
级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\left(1-\cos \frac{\alpha}{n}\right)$（常数 $\alpha>0$ ）（）
$\text{A.}$ 发散
$\text{B.}$ 条件收敛
$\text{C.}$ 绝对收敛
$\text{D.}$ 收敛性与 $\alpha$ 有关
填空题 （共 7 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-1)^{2 n}}{4^n \cdot n}$ 的收敛域．
设幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的收敛半径为 3，则幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n a_n(x-1)^{n+1}$ 的收敛区间为 $\qquad$ ．
$\sum_{n=1}^{\infty} n\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=$
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n(n+1) x^{n-1}$ 的收敛域，并求其和函数．
将函数 $f(x)=\frac{1}{x^2-3 x+2}$ 展成 $x$ 的幂级数，并指出其收敛区间．
设 $f(x)$ 是周期为 2 的周期函数，它在区间 $(-1,1]$ 上的定义为 $f(x)=\left\{\begin{array}{lr}2, & -1 < x \leq 0 \\ x^3, & 0 < x \leq 1\end{array}\right.$ ，则 $f(x)$ 的傅里叶（Four ier）级数在 $x=1$ 处收于 $\qquad$ ．
将函数 $f(x)=3 x^2+1(-\pi \leq x < \pi)$ 展开成周期为 $2 \pi$ 的傅里叶级数．
解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
判断无穷级数 $\frac{1}{1 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 5}+\cdots+\frac{1}{(2 n-1)(2 n+1)}+\cdots$ 的敛散性．
讨论级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+1)!}{n^{n+1}}$ 的敛散性．
用莱布尼茨判别法判断无穷级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{n}{3^n}$ 的敛散性．
讨论级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n+1}{\ln n}$ 的敛散性．