单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
下列不等式表示的复平面点集中，既不是开集也不是闭集的点集是（ ）
$\text{A.}$ $\operatorname{Im} z>0$
$\text{B.}$ $\operatorname{Im} z=1$
$\text{C.}$ $0 \leqslant \arg z \leqslant \frac{\pi}{4}$
$\text{D.}$ $|z-4| \geqslant|z|$
函数 $f(z)$ 在点 $z$ 解析是 $f(z)$ 在点 $z$ 可导的（ ）
$\text{A.}$ 充分非必要条件
$\text{B.}$ 必要非充分条件
$\text{C.}$ 充分必要条件
$\text{D.}$ 既非必要也非充分条件
设 $a$ 为非零复数，$C$ 是不经过 $a$ 与 $-a$ 的正向周线，且 $\oint_C \frac{z}{z^2-a^2} d z=2 \pi i$ ，则（ ）
$\text{A.}$ $a$ 与 $-a$ 均不在 $C$ 内
$\text{B.}$ $a$ 与 $-a$ 均在 $C$ 内
$\text{C.}$ 只有 $a$ 在 $C$ 内
$\text{D.}$ 只有 $-a$ 在 $C$ 内
设 $a, b$ 为非零复数，则 $f(z)=\frac{1}{a z+b}$ 的麦克劳林级数收敛半径为 ()
$\text{A.}$ $|a|$
$\text{B.}$ $|b|$
$\text{C.}$ $\left|\frac{b}{a}\right|$
$\text{D.}$ $\left|\frac{a}{b}\right|$
$z=0$ 为函数 $f(z)=\frac{1}{\cos z-1}+\frac{2}{z^2}$ 的（ ）
$\text{A.}$ 可去奇点
$\text{B.}$ 一阶极点
$\text{C.}$ 二阶极点
$\text{D.}$ 本质奇点
判断题 （共 7 题 ）
闭集 $E$ 的聚点一定属于 $E$
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
$1^{\sqrt{2}}=1$
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
积分 $\oint_{|z|=2} \frac{1}{z^2+1} d z$ 的值为零
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
解析函数 $f(z)$ 的 $m(m>1)$ 阶零点必是 $f^{\prime}(z)$ 的 $m-1$ 阶零点。
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
函数 $\tan \frac{1}{z}$ 在圆环 $0 < |z| < 1$ 内可以展开成洛朗级数
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
若 $z_0$ 是 $f(z)$ 的可去奇点，则 $\operatorname{Res}\left(f(z), z_0\right)=0$
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
设 $w=f(z)$ 在区域 $D$ 内解析，则 $D$ 的像 $G=f(D)$ 也是一个区域
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
当 $z=\frac{1- i }{1+ i }$ 时，$\left|z^{2022}+z^{2023}+z^{2024}+z^{2025}\right|=$
设函数 $f(z)=x^2-y^2+ i v(x, y)$ 在复平面上解析，则 $f^{\prime}(1)=$
设 $C$ 为顺时针圆周曲线 $|z|=2$ ，则 $\oint_C \frac{\sin z}{\left(z-\frac{\pi}{2}\right)^3} d z=$
设函数 $f(z)=\frac{z}{z^2+2}$ ，则 $f^{(5)}(0)=$
函数 $f(z)= e ^z+ e ^{\frac{1}{z}}$ 在 $z=\infty$ 处的留数是
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求 $\sqrt{i}, \operatorname{Ln}(1+i), i^i$ 的值．
设解析函数 $f(z)=x^2-y^2+x y+ i v(x, y)$ ，且 $f(0)=0$ ，求 $f(z)$ ．
求函数 $f(z)=\frac{1}{(z-1)(z-2)}$ 在区域 $1 < |z-3| < 2$ 中的洛朗级数．
计算积分 $\int_{|z|=1} \frac{d z}{(z-a)^n(z-b)^n},(|a| < 1,|b| < 1, a \neq b, n$ 为正整数）．
求方程 $z^4-5 z^2+1=0$ 在单位圆内根的个数．
若区域 $D$ 内不恒为常数的解析函数 $f(z)$ ，在 $D$ 内的点 $z_0$ 有 $f\left(z_0\right) \neq 0$ ，则 $\left|f\left(z_0\right)\right|$ 不可能是 $|f(z)|$ 在 $D$ 内的最小值．
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤