填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
甲、乙两人进行电子竞技比赛，已知每局比赛甲赢的概率为 $p_1\left(0 < p_1 < 1\right)$ ，乙赢的概率为 $p_2$ ，且 $p_1+p_2=1$ ．规定：比赛中先赢三局者获胜，比赛结束，若每局比赛结果相互独立，记比赛共进行了 $X$ 局，则 $X$ 的数学期望的最大值为
解答题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知函数 $f(x)= e ^{2 x}-5 e ^x+\lambda x$ ．
（1）若 $\lambda=2$ ，求 $f(x)$ 的极值；
（2）若 $f(x)$ 在区间 $(-\infty, 0)$ 上存在零点，求实数 $\lambda$ 的取值范围．
已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的公差为 1 ，且 $\ln \left(a_3+1\right)$ 是 $\ln a_2, \ln \left(a_{10}-2\right)$ 的等差中项．
（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式：
（2）从数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $m$ 项中 $(m \geqslant 3)$ ，随机选出两个不同的项相乘，所得结果为奇数的概率为 $P_m$ ．是否存在正整数 $N$ ，当 $m \geqslant N$ 时，恒有 $P_m>\frac{1}{6}$ ，若存在，求出 $N$ 的最小值．若不存在，请说明理由；
（3）数列 $\left\{b_n\right\}$ 施足 $b_n=\frac{1}{a_n a_{n+1}}$ ，记数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $2 n$ 项中所有奇数项的和为 $S_n$ ，求证：$S_n < 1$ ．