解答题 （共 20 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算 二重积分 $\iint_D\left(x^2+y^2\right) d \sigma$ ，其中 $D=\{(x, y)| | x|\leqslant 1,|y| \leqslant 1\}$ ；
计算 二重积分 $\iint_D(3 x+2 y) d \sigma$ ，其中 $D$ 是由两坐标轴及直线 $x+y=2$ 所围成的闭区域；
计算 二重积分 $\iint_D\left(x^3+3 x^2 y+y^3\right) d \sigma$ ，其中 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ；
计算 二重积分 $\iint_D x \cos (x+y) d \sigma$ ，其中 $D$ 是顶点分别为 $(0,0),(\pi, 0)$ 和 $(\pi, \pi)$ 的三角形闭区域；
计算 二重积分 $\iint_D \sqrt{\left|y-x^2\right|} d x d y$ ，其中 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
交换二次积分的积分次序 $\int_0^1 d y \int_0^y f(x, y) d x$ ；
交换二次积分的积分次序 $\int_0^2 d y \int_{y^2}^{2 y} f(x, y) d x$ ；
交换二次积分的积分次序 $\int_0^1 d y \int_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}} f(x, y) d x$ ；
交换二次积分的积分次序 $\int_1^2 d x \int_{2-x}^{\sqrt{2 x-x^2}} f(x, y) d y$ ；
交换二次积分的积分次序 $\int_1^e d x \int_0^{\ln x} f(x, y) d y$ ；
交换二次积分的积分次序 $\int_0^\pi d x \int_{-\sin \frac{x}{2}}^{\sin x} f(x, y) d y$ ．
计算由四个平面 $x=0, y=0, x=1, y=1$ 所围成的柱体被平面 $z=0$ 及 $2 x+3 y+z=6$ 截得的立体的体积．
画出积分区域，把积分 $\iint_D f(x, y) d x d y$ 表示为极坐标形式的二次积分，其中积分区域 $D$ 是
（1）$\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant a^2\right\}(a>0)$ ；
（2）$\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant 2 x\right\}$ ；
化下列二次积分为极坐标形式的二次积分：
（1） $\int_0^1 d x \int_0^1 f(x, y) d y$ ；
（2） $\int_0^2 d x \int_x^{\sqrt{3} x} f\left(\sqrt{x^2+y^2}\right) d y$ ；
$\int_0^{2 a} d x \int_0^{\sqrt{2 a x-x^2}}\left(x^2+y^2\right) d y ;$
$\int_0^a d x \int_0^x \sqrt{x^2+y^2} d y ;$
设有一物体占有空间闭区域 $\Omega=\{(x, y, z) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1,0 \leqslant z \leqslant 1\}$ ，在点 $(x, y, z)$ 处的密度为 $\rho(x, y, z)=x+y+z$ ，计算该物体的质量．
计算 $\iiint_{\Omega} x y^2 z^3 d x d y d z$ ，其中 $\Omega$ 是由曲面 $z=x y$ ，平面 $y=x, x=1$ 和 $z=0$ 所围成的闭区域。
计算 $\iiint_{\Omega} x z d x d y d z$ ，其中 $\Omega$ 是由平面 $z=0, z=y, y=1$ 以及抛物柱面 $y=x^2$ 所围成的闭区域。
利用球面坐标计算下列三重积分： $\iiint_{\Omega}\left(x^2+y^2+z^2\right) d V$ ，其中 $\Omega$ 是由球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 所围成的闭区域；