单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
设 $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{(x-4)^{95}(a x-3)^5}{\left(x^2+5\right)^{50}}=32$ ，则 $a$ 的值为 ．
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ $\sqrt[5]{8}$
$\text{D.}$ 无法求出
当 $x \rightarrow 0$ 时，$\frac{1}{x^2} \sin \frac{1}{x}$ 是（ ）．
$\text{A.}$ 无穷小
$\text{B.}$ 无穷大
$\text{C.}$ 有界的，但不是无穷小的
$\text{D.}$ 无界的，但不是无穷大的
设 $f(x)=\frac{1}{e^{\frac{x}{x-1}}+1}$ ，则 $x=1$ 是 $f(x)$ 的 ．
$\text{A.}$ 可去间断点
$\text{B.}$ 跳跃间断点
$\text{C.}$ 第二类间断点
$\text{D.}$ 连续点
填空题 （共 8 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $f(x)=\frac{a x}{x-a}$ ，求 $f\{f[f(x)]\}$ ．
设 $x_n=1-\cos n \pi$ ，讨论 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 是否存在。
计算极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1+n}{n}\right)^{(-1)^n}$ ．
求 $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^3-8}{x^2-3 x+2}$
当 $x \rightarrow 0$ 时，$\left(\sqrt{1+\tan ^3 x}-1\right) \ln \left(1+\sin ^3 x\right)$ 是 $\left(e^x-1\right) \arcsin x$ 的几阶无穷小？
已知当 $x \rightarrow 0$ 时，$\left(1+a x^2\right)^{\frac{1}{3}}-1$ 与 $\cos x-1$ 是等价无穷小，则常数 $a=$ $\qquad$
(1) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}-e}{x}$;
(2) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \frac{\sin x}{x}}{x^2}$.
$$
\begin{aligned}
&y=f(x)=\left\{\begin{array}{l}
x, x \neq 1 \\
\frac{1}{2}, x=1
\end{array}\right.\\
&\text { 讨论函数 } f(x) \text { 的间断点．}
\end{aligned}
$$
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求函数 $f(x)=\sin (5 x+1)+\cos \left(\frac{20}{3} x-4\right)$ 的周期．
求下列函数的反函数
（1）$y=\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)$
（2）$y=\frac{a x+b}{c x+d}(a d \neq b c)$
（1）设函数 $f(x)=\sin x, x \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ ，求 $f^{-1}(x)$ ；
（2）设函数 $f(x)=\sin x, x \in\left(\pi, \frac{3 \pi}{2}\right)$ ，求 $f^{-1}(x)$ ；
$\lim _{x \rightarrow \infty} \arctan \left(\frac{x^2+x}{x^2+x+1}\right)$
(1) $\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{2 x-\pi}$;
(2) $\lim _{n \rightarrow \infty} 3^n \sin \frac{\pi}{3^n}$.
1） $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{2 x}\right)^{3 x}$ ；
（2） $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{3+x}{1+x}\right)^{3 x}$ ．
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x+2 a}{x-a}\right)^{3 x}=8$ ，试求 $a$ ．
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(2^x+\sin x\right)^{\frac{1}{e^{2 z}-1}}$ ．
证明题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
证明方程 $x^3-4 x^2+1=0$ 在区间 $(0,1)$ 内至少有一个根．
设 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上连续，$f(0)+2 f(1)+3 f(2)=12$ ，证明：存在 $c \in[0,2]$ ，使得 $f(c) \doteq 2$ ．