填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
过点 $M_0(1,-1,2)$ 且与平面 $\pi_1: x+2 y-z-2=0$ 与 $\pi_2: x-y-z-4=0$ 的交线垂直的平面为
一平面经过点 $M_1(2,1,3)$ 及点 $M_2(3,4-1$ ，且与平面 $3 x-y+6 z-6=0$ 垂直，该平面方程为
一直线位于 $\pi: x+y+z+1=0$ 内，与直线 $L:\left\{\begin{array}{l}x+2 z=0, \\ y+z+1=0\end{array}\right.$ 垂直，且经过直线 $L$ 与平面 $\pi$ 的交点，求该直线．
设函数 $u(x, y, z)=1+\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{12}+\frac{z^2}{18}$ ，单位向量 $n =\frac{1}{\sqrt{3}}\{1,1,1\}$ ，则 $\left.\frac{\partial u}{\partial n}\right|_{(1,2,3)}=$ $\qquad$ ．
求曲线 $x=2 t^2, y=t, z=3 t^2$ 在点 $(2,1,3)$ 处的切线及法平面方程．
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $a , b$ 为单位向量，且两向量的夾角为 $\frac{\pi}{4}$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{| a +x b |-1}{x}=$
设点 $A(1,0,-1), B(2,1,0), C(0,1,1)$ 则由 $A, B, C$ 所构成的三角形面积为
求与原点 $O$ 及 $M_0(2,3,4)$ 的距离之比为 $1: 2$ 的点的全体所组成的曲面方程。
直线 $L: \frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z}{1}$ 绕 $z$ 轴旋转而成的曲面为
求直线 $L:\left\{\begin{array}{l}x-y+z-2=0, \\ x+y-z=0\end{array}\right.$ 在平面 $\pi: x-y-z-1=0$ 上的投影直线．
求：（1）直线 $L: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{-1}$ 在平面 $\pi: x-y+2 z-1=0$ 上的投影直线 $L_0$ 的方程；
（2）$L_0$ 绕 $y$ 轴旋转一周所成曲面的方程．
求球面 $x^2+y^2+z^2=4 r^2$ 及柱面 $x^2+y^2=2 r y$ 的交线在点 $M(r, r, \sqrt{2} r)$ 的切线及法平面方程．
求拋物面 $z=x^2+y^2$ 在点 $(1,2,5)$ 处的切平面方程及法线方程．
求椭球面 $x^2+2 y^2+3 z^2=6$ 在点 $(1,1,1)$ 处的切平面方程和法线方程．