单选题 （共 4 题 ），每题只有一个选项正确
设 $A 、 B$ 为任意两个事件，且 $A \subset B, P(B)>0$ ，则下列选项必然成立的是
$\text{A.}$ $P(A) < P(A \mid B)$
$\text{B.}$ $P(A) \leq P(A \mid B)$
$\text{C.}$ $P(A)>P(A \mid B)$
$\text{D.}$ $P(A) \geq P(A \mid B)$
设随机变量 $X_i(i=1,2)$ 的分布律为
且满足 $P\left\{X_1 X_2=0\right\}=1$ ，则 $P\left\{X_1=X_2\right\}=( A )$ 。
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 0.5
$\text{C.}$ 0.75
$\text{D.}$ 1
设随机变量 $X$ 和 $Y$ 独立同部分，记 $U=X-Y, V=X+Y$ ，则 $U$ 与 $V$ 之间
$\text{A.}$ 不独立
$\text{B.}$ 相关系数不为零
$\text{C.}$ 独立
$\text{D.}$ 相关系数为零
设总体 $X \sim N\left(0, \sigma^2\right), X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为 $X$ 的样本，则 $\sigma^2$ 的无偏估计为
$\text{A.}$ $\quad \hat{\sigma}^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n X_i{ }^2$
$\text{B.}$ $\hat{\sigma}^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2$
$\text{C.}$ $\hat{\sigma}^2=\frac{1}{n+1} \sum_{i=1}^n X_i{ }^2$
$\text{D.}$ $\hat{\sigma}^2=\frac{1}{(n+1)^2} \sum_{i=1}^n X_i^2$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $P(A)=0.5, P(B)=0.6, P(B \mid A)=0.8$ ，则 $P(B-A)=$
设 $X$ 服从 $b ( n , p )$ ，且 $E(X)=2, D(X)=1$ ，则 $P\{X \geq 1\}=$
设随机变量 $X$ 和 $Y$ 的相关系数为 $\rho$ ，且 $D(X)=4, D(Y)=1, D(X-2 Y)=4$ ，则 $\rho=$
设随机变量 $X, Y$ 独立同分布，且 $P\{X>1\}=e^{-2}$ ，则
$$
P\{\min (X, Y) \leq 1\}=
$$
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是总体 $N(\mu, 4)$ 的样本， $\bar{X}$ 是样本均值，则当 $n$ 至少为 $\qquad$ $\qquad$时有 $E(\bar{X}-\mu)^2 \leq 0.1$
设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right), X_1, X_2, \cdots, X_{20}$ 是来自 $X$ 的样本，令 $Y=3 \sum_{i=1}^{10} X_i-4 \sum_{i=11}^{20} X_i$ ，则 $Y$ 服从分布 $\qquad$ 。
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
一批产品中 $90 \%$ 是合格品。检验时，一个合格品被误认为是次品的概率为 0.05 ，一个次品被误认为是合格品的概率为 0.02 。求
（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；
（2）一个产品经检查后被认为是合格品，求该产品确是合格品的概率。
设随机变量 $X$ 的分布律为
求（1）$X$ 的分布函数 $F(x)$ ；（2）$P\{0 \leq X \leq 2.5\}$ 及 $P\{2 < X \leq 3\}$ 。
设 $X$ 服从 $N(0,1)$ ，求 $Y=2 X^2+1$ 的概率密度。
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合概率密度为
$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}
C y(1-x), 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq x \\
0 & \text { 其他 }
\end{array}\right.
$$
求（1）常数 C ；
（2）判断X及Y是否独立；
（3）求概率 $P\{X+Y \leq 1\}$ 。
一个复杂系统由 $n$ 个相互独立的元件组成，每个元件损坏的概率为 0.1 ，已知至少有 $80 \%$ 的元件正常工作才能使系统正常运行，请使用中心极限定理，求 $n$ 至少为多大时才能保证系统正常运行的概率不低于 0.95 。
设总体 $X$ 的概率密度为 $f(x, \theta)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{\theta} e^{-\frac{x}{\theta}}, & x>0, \\ 0 , & x \leq 0\end{array}\right.$ ，其中 $\theta>0$ 为未知参数， $X _{ 1 }, X _{ 2 }, \cdots, X _{ n }$ 是来自总体 $X$ 的样本，试求末知参数 $\theta$ 的（1）矩估计量，（2）最大似然估计量。
随机地取某种炮弹 9 发做实验，测得炮口速度的样本标准差 $S=11 m / s$ ．设炮口速度 $X$服从 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，求方差 $\sigma^2$ 的置信水平为 $95 \%$ 的双侧置信区间。
设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取 36 位考生的成绩，算得平均成绩为 66.5 分，标准差为 15 分，问在显著性水平 0.05 下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为 70 分？