填空题 （共 8 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{x \rightarrow 0} \sqrt{1+x+x^2}=$
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1-\frac{2}{x}\right)^x=$
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^2+a, \text { 当 } \mathrm{x} \geq 1 \\ b x, \text { 当 } x < 1\end{array}\right.$ 在 $x=1$ 处可导，则常数 $a=$ ，$b=$
设 $f(x)=(x+1)^{12}$ ，则 $f^{\prime \prime \prime}(0)=$
设 $y=\ln (1+x)$ ，则当 $x=0, d x=0.1$ 时，$d y=$
曲线 $y=x \ln x$ 在 $(1,0)$ 处的切线方程是
函数 $y=x^3-a x+1$ 在 $x=1$ 处有极值，则 $a=$
$\int_1^{+\infty} \frac{1}{1+x^2} d x=$
解答题 （共 13 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\sin x}{x\left(e^x-1\right)^2}$
$\lim _{x \rightarrow \infty}(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})$
设 $y=(1+\sqrt{x})^5$ ，求 $d y$
求由方程 $y \cos x y+2 x-1=0$ 所确定的隐函数 $y=y(x)$ 的导数 $\frac{dy}{dx}$
求由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{1+t} \\ y=\frac{2 t}{1+t^2}\end{array}\right.$ 所表示的函数 $y=y(x)$ 的导数 $\frac{d y}{d x}$
$\int x \sqrt{1-x^2} d x$
$\int_{-\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{x-1}{\sqrt{1-x^2}} d x$
$\int_1^{e^2} x^2 \ln x d x$
求函数 $f(x)=\frac{2 x^2+3 x+3}{x^2+x+1}$ 在 $[-3,1]$ 上的最大值和最小值．
求曲线 $y=x e^{-x}$ 的凹凸区间和拐点．
求曲线 $y=2 x, y=0, x=1$ 所围图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体体积
证明：当 $x>0$ 时，$\sqrt{1+x}-1 < \frac{1}{2} x$