填空题 （共 10 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
如果函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $[0,1]$ ，则 $f(\ln x)$ 的定义域为
已知 $f^{\prime}(0)=2$ ，而且 $f(0)=0$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(2 x)}{x}=$
已知 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{2+x}{x}\right)^{k x}=e^2$ ，则 $k=$
曲线 $y=x \ln x$ 在点 $(1,0)$ 处的切线方程是
函数 $f(x)=\frac{x-3}{x^2-5 x+6}$ 的间断点个数为
如果
$$
f(x)= \begin{cases}\frac{\sin x}{x}, & x < 0 \\ k, & x=0 \\ \frac{\ln (1+x)}{x}, & x>0\end{cases}
$$
在 $x=0$ 处连续，则 $k=$
函数 $f(x)=e^{2 x}$ 的带有拉格朗日型余项的 $n$ 阶麦克劳林展式为
函数 $f(x)=p x^2+q x+r \quad(p, q, r$ 是常数，且 $p \neq 0)$ ，则 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上满足拉格朗日中值公式的 $\xi=$
定积分 $\int_{-1}^1(|x|+\sin x) x^{10} d x$ 的值为
设 $\int f(x) d x=F(x)+C$ ，则 $\int e^{-x} f\left(e^{-x}\right) d x=$
解答题 （共 12 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{3-x}-\sqrt{x+1}}{x^2-1}$ ．
求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} 2^n \sin \frac{\pi}{2^n}$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^{x^2} \sqrt{1+t^2} \sin t d t}{x^4}$
设 $y=e^{\arctan \sqrt{x}}$ ，求 $d y$
求由方程 $x y=e^{x+y}$ 所确定的隐函数的导数 $\frac{d y}{d x}$
求由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=3 e^{-t} \\ y=2 e^t\end{array}\right.$ 所确定的函数的二阶导数 $\frac{d^2 y}{d x^2}$
求不定积分 $\int \frac{x^2+(\arctan x)^3}{1+x^2} d x$ ．
求定积分 $\int_0^1 e^{\sqrt{x+1}} d x$
讨论广义积分 $\int_2^{+\infty} \frac{1}{x(\ln x)^p} d x$ 的敛散性
求函数 $y=x^2+\frac{1}{x}$ 的单调区间、凹凸区间、极值点和拐点
证明当 $a>b>0$ 时，$\frac{a-b}{a} < \ln \frac{a}{b} < \frac{a-b}{b}$
求由曲线 $y=e^x, y=e^{-x}$ 与直线 $x=1$ 所围成的平面图形面积及这个平面图形绕 $x$ 轴旋转所成旋转体体积。