$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{5 n^3}$;

求极限 $\lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^3}\right)$.

求极限
(1) $\lim _{x \rightarrow 0} x^2 \sin \frac{1}{x}$;
(2) $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\arctan x}{x}$.

下列陈述中, 哪些是对的, 哪些是错的? 如果是对的, 说明理由; 如果是错的, 试给出一个反例.
(1) 如果 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)$ 存在, 但 $\lim _{x \rightarrow x_0} g(x)$ 不存在,那么 $\lim _{x \rightarrow x_0}[f(x)+g(x)]$ 不存在;
(2) 如果 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)$ 和 $\lim _{x \rightarrow x_0} g(x)$ 都不存在, 那么 $\lim _{x \rightarrow x_0}[f(x)+g(x)]$ 不存在;
(3) 如果 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)$ 存在, 但 $\lim _{x \rightarrow x_0} g(x)$ 不存在, 那么 $\lim _{x \rightarrow x_0}[f(x) \cdot g(x)]$ 不存在;
(4) 如果 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)$ 和 $\lim _{x \rightarrow x_0} g(x)$ 都不存在,那么 $\lim _{x \rightarrow x_0}[f(x) \cdot g(x)]$ 不存在.