单选题 （共 1 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)$ 在 $x=a$ 的某个邻域内有定义, 则 $f(x)$ 在 $x=a$ 处可导的一个充分条件定
$\text{A.}$ $\lim _{h \rightarrow+\infty} h\left[f\left(a+\frac{1}{h}\right)-f(a)\right]$ 存在
$\text{B.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(a+2 h)-f(a+h)}{h}$ 存在
$\text{C.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a-h)}{2 h}$ 存在
$\text{D.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(a)-f(a-h)}{h}$ 存在
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求隐函数导数 $x y=\mathrm{e}^{x+y}$;
设曲线 $C$ 的方程为 $x^2 y-x y^2=2$, 试找出 $C$ 上有水平切线和铅直切线的点.
已知 $\left\{\begin{array}{l}x=\mathrm{e}^t \sin t, \\ y=\mathrm{e}^t \cos t,\end{array}\right.$ 求当 $t=\frac{\pi}{3}$ 时 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ 的值.
讨论函数$f(x)= \begin{cases}x \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{cases}$在 $x=0$ 处的连续性与可导性。
求曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=2 \mathrm{e}^t \\ y=\mathrm{e}^{-t}\end{array}\right.$ 在 $t=0$ 相应的点处的切线方程及法线方程.