单选题 （共 1 题 ），每题只有一个选项正确
设在 $[0,1]$ 上 $f^{\prime \prime}(x)>0$, 则 $f^{\prime}(0), f^{\prime}(1), f(1)-f(0)$ 或 $f(0)-f(1)$ 几个数的大小顺序为 )
$\text{A.}$ $f^{\prime}(1)>f^{\prime}(0)>f(1)-f(0)$
$\text{B.}$ $f^{\prime}(1)>f(1)-f(0)>f^{\prime}(0)$
$\text{C.}$ $f(1)-f(0)>f^{\prime}(1)>f^{\prime}(0)$
$\text{D.}$ $f^{\prime}(1)>f(0)-f(1)>f^{\prime}(0)$
解答题 （共 13 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
不用求出函数 $f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$ 的导数, 说明方程 $f^{\prime}(x)=0$ 有几个实根，并指出它们所在的区间。
设 $a>b>0$, 证明:
$$
\frac{a-b}{a} < \ln \frac{a}{b} < \frac{a-b}{b} .
$$
验证极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2 \sin \frac{1}{x}}{\sin x}$ 存在, 但不能用洛必达法则得出.
计算 $ \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{\tan x}{\tan 3 x} $
求 函数 $f(x)=\sqrt{x}$ 按 $(x-4)$ 的幕展开的带有拉格朗日余项的 3 阶泰勒公式.
讨论方程 $\ln x=a x$ (其中 $a>0$ ) 有几个实根.
问 $a, b$ 为何值时, 点 $(1,3)$ 为曲线 $y=a x^3+b x^2$ 的拐点?
试问 $a$ 为何值时, 函数 $f(x)=a \sin x+\frac{1}{3} \sin 3 x$ 在 $x=\frac{\pi}{3}$ 处取得极值? 它是极大值还是极小值? 并求此极值.
求函数$y=x^2-\frac{54}{x}(x < 0)$, 最小值在何处取得最小值
描绘 $y=\mathrm{e}^{-(x-1)^2}$的凸凹点
求椭圆 $4 x^2+y^2=4$ 在点 $(0,2)$ 处的曲率.
求方程 $x \lg x=1$ 的近似根, 使误差不超过 0.01 .
设 $a_0+\frac{a_1}{2}+\cdots+\frac{a_n}{n+1}=0$, 证明多项式 $f(x)=a_0+a_1 x+\cdots+a_n x^n$ 在 $(0,1)$ 内至少有一个零点.