单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
设反常积分 $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{x|\ln x|^a \cos ^b 2 x} \mathrm{~d} x$ 收敛,则
$\text{A.}$ $a < 1, b < 1$.
$\text{B.}$ $a < 1, b>1$.
$\text{C.}$ $a>1, b < 1$.
$\text{D.}$ $a>1, b>1$.
记 $I=\int_0^1 \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x, J=\int_0^1 \frac{\tan x}{x} \mathrm{~d} x$, 则
$\text{A.}$ $\sin 1>I$
$\text{B.}$ $I>1$
$\text{C.}$ $J < \tan 1$
$\text{D.}$ $J < 1$
设在极坐标系下, 区域的表示为 $D=\{(r, \theta) \mid 0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi, r \leqslant 1\}$, 记
$$
\begin{aligned}
& I_1=\int_0^{2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_0^1(\cos r+r \cos \theta+r \sin \theta) r \mathrm{~d} r, \\
& I_2=\int_0^{2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_0^1\left(\cos r^2-r \cos \theta+r \sin \theta\right) r \mathrm{~d} r, \\
& I_3=\int_0^{2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_0^1\left(\cos r^4-r \cos \theta-r \sin \theta\right) r \mathrm{~d} r,
\end{aligned}
$$
则
$\text{A.}$ $I_1 < I_2 < I_3$.
$\text{B.}$ $I_2 < I_1 < I_3$.
$\text{C.}$ $I_3 < I_2 < I_1$.
$\text{D.}$ $I_3 < I_1 < I_2$.
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设函数 $f(x)$ 连续， $g(x)=\int_0^1 f(x t) \mathrm{d} t$ ，且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=A$ ， $A$ 为常数. 求 $g^{\prime}(x)$ 并讨论 $g^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 处的连续性.
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续， $x \in(a, b)$ ，证明:
$$
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} \int_a^x[f(t+h)-f(t)] \mathrm{d} t=f(x)-f(a) .
$$
求 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt[3]{x} \int_x^{x+1} \frac{\sin t}{\sqrt{t+\cos t}} \mathrm{~d} t$.