单选题 （共 4 题 ），每题只有一个选项正确
设积分 $I=\int_0^{+\infty} \frac{1}{\left(1+x^a\right) \ln \left(1+x^b\right)} \mathrm{d} x$, 其中 $a>0, b>0$, 若该积分收玫, 则必有
$\text{A.}$ $0 < a < 1,0 < b < 1$
$\text{B.}$ $0 < a < 1, b>1$
$\text{C.}$ $a>1,0 < b < 1$
$\text{D.}$ $a>1, b>1$
设 $I_1=\iint_D(x+y) \operatorname{sgn}(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y, I_2=\iint_D(x-y) \operatorname{sgn}(x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$, 其中符号函数 $\operatorname{sgn} x= \begin{cases}1, & x>0, \\ 0, & x=0, \\ -1, & x < 0,\end{cases}$
$\text{A.}$ $I_1>I_2$
$\text{B.}$ $I_1 < I_2$
$\text{C.}$ $I_1=I_2$
$\text{D.}$ $I_1=-I_2$
设函数 $f(x)$ 连续, 则下列结论不成立的是
$\text{A.}$ $\int_0^\pi f(\sin x) \mathrm{d} x=2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \mathrm{d} x$
$\text{B.}$ $\int_0^\pi x f(\sin x) \mathrm{d} x=\pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \mathrm{d} x$
$\text{C.}$ $\int_{-1}^1 f(x) \mathrm{d} x=\int_0^1[f(x)+f(-x)] \mathrm{d} x$
$\text{D.}$ $\int_{-1}^1 x f(x) \mathrm{d} x=\int_0^1 x[f(x)+f(-x)] \mathrm{d} x$
设 $L: x^2+y^2=R^2(R>0)$, 则曲线积分 $\int_L\left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} s=$
$\text{A.}$ $\pi R^2$;
$\text{B.}$ $\pi R^3$;
$\text{C.}$ $2 \pi R^2$;
$\text{D.}$ $2 \pi R^3$.
填空题 （共 2 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
计算积分 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin \frac{2 n+1}{2} x}{\sin \frac{x}{2}} \mathrm{~d} x$ ，其中 $n$ 为正整数.
定积分 $I=\int_0^\pi \cos \left(\sin ^2 x\right) \cos x \mathrm{~d} x=$