单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
下列数项级数哪个发散?
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \sin \frac{\pi}{2^n}$
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \ln \frac{n^2+1}{n^2}$
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n n !}{n^n}$
设级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛,则下列级数绝对收敛的是
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{u_n}{n}$
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{u_n^2}{n}$
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n+1}-u_n\right)$
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n\right)^n$
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x, & 0 \leqslant x \leqslant 1, \\ -x, & 1 < x \leqslant 2,\end{array}\right.$ 的正弦级数与余弦级数的和函数分别为 $S_1(x)$ 与 $S_2(x)$ $(-\infty < x < +\infty)$, 则 $S_1(6)+S_2(-3)=$
$\text{A.}$ -2
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 2
设 $p$ 为常数, 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^p} \arctan \frac{1}{\sqrt{n}}$ 条件收剑, 则 $p$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $\left(0, \frac{1}{2}\right]$.
$\text{B.}$ $\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$.
$\text{C.}$ $(0,1)$.
$\text{D.}$ $\left(-\frac{1}{2}, 1\right)$.
设幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n(x-1)^n$ 在 $x=3$ 处条件收敛，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{2^n}(x+1)^n$ 在 $x=-3$ 处
$\text{A.}$ 绝对收敛
$\text{B.}$ 条件收敛
$\text{C.}$ 发散
$\text{D.}$ 敛散性不确定
下列结论正确的是
$\text{A.}$ 若 $\sum a_n x^n$ 的收敛半径为 $R$ ，则 $\sum\left(a_n x^n\right)^{\prime}$ (导数)的收敛半径也是 $R$
$\text{B.}$ 若 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 有任意阶导数，则有$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}\left(x_0\right)}{n!}\left(x-x_0\right)^n $
$\text{C.}$ 若 $\sum a_n x^n$ 的收敛半径为 $R$, 则 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=R$
$\text{D.}$ 设 $\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos n x+b_n \sin n x\right)$ 是周期为 $2 \pi$ 的函数 $f(x)$的傅里叶级数，则在 $f(x)$ 的定义域内，有 $ f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos n x+b_n \sin n x\right) $