单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶矩阵, $\boldsymbol{B}=\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3\right), \boldsymbol{\beta}_1$ 为 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解, $\boldsymbol{\beta}_2$ 不是 $\boldsymbol{A x}=0$ 的解, 又 $r(\boldsymbol{A B}) < $ $\min \{r(\boldsymbol{A}), r(\boldsymbol{B})\}$, 则 $r(\boldsymbol{A B})=$.
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设矩阵 $\mathbf{A}$ 是三阶方阵, $\lambda_0$ 是 $\mathbf{A}$ 的二重特征值, 则下面各向量组中:
(1) $(1,3,-2)^T,(4,-1,3)^T,\left(\begin{array}{lll}0 & 0, & 0\end{array}\right)^T$;
(2) $(1,1,1)^T,(1,1,0)^T,(0,0,1)^T$;
(3) $(1,-1,2)^T,(2,-2,4)^T,(3,-3,6)^T$;
(4) $(1,0,0)^T,(0,1,0)^T,(0,0,1)^T$;
肯定不属于 $\lambda_0$ 的特征向量共有
$\text{A.}$ 1 组;
$\text{B.}$ 2 组;
$\text{C.}$ 3 组;
$\text{D.}$ 4 组;
设 $A, B$ 都是可逆矩阵, 且 $A$ 与 $B$ 相似, 则下列结论不一定正确的是
$\text{A.}$ $ A^T$ 与 $B^T$ 相似
$\text{B.}$ $A^{-1}$ 与 $B^{-1}$ 相似
$\text{C.}$ $ A+A^{-1}$ 与 $B+B^{-1}$ 相似
$\text{D.}$ $A+A^T$ 与 $B+B^T$ 相似
设 $\boldsymbol{A}$ 为 2 阶实对称矩阵, 特征值为 $\lambda_1, \lambda_2, \boldsymbol{B}$ 为 2 阶正定矩阵, 特征值为 $\mu_1, \mu_2$. 记 $M=\max _{\boldsymbol{x} \neq 0} \frac{\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}}{\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B} \boldsymbol{x}}, m=\min _{\boldsymbol{x} \neq 0} \frac{\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A x}}{\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B} \boldsymbol{x}}$, 则 $M m=(\quad)$
$\text{A.}$ $\lambda_1 \lambda_2$.
$\text{B.}$ $\frac{\mu_1 \mu_2}{\lambda_1 \lambda_2}$.
$\text{C.}$ $\frac{\lambda_1 \lambda_2}{\mu_1 \mu_2}$.
$\text{D.}$ 由已知条件不能确定.
矩阵 $\left[\begin{array}{ccc}3 & -2 & 0 \\ -2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]$ 与 $\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 0 \\ -2 & 2 & -2 \\ 0 & -2 & 3\end{array}\right]$ 的关系是
$\text{A.}$ 合同且相似
$\text{B.}$ 合同但不相似
$\text{C.}$ 相似但不合同
$\text{D.}$ 不合同也不相似
已知 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}, \boldsymbol{D}$ 都是 4 阶非零矩阵, 且 $\boldsymbol{A B C D}=\boldsymbol{O}$, 如果 $|\boldsymbol{B C}| \neq 0$, 记 $r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{B})+r(\boldsymbol{C})+r(\boldsymbol{D})$ $=r$, 则 $r$ 的最大值是
$\text{A.}$ 11
$\text{B.}$ 12
$\text{C.}$ 13
$\text{D.}$ 14