解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^{x^2}(1-\sin 2 t)^{\frac{1}{t}} d t}{\left(e^x-1\right) \ln (1+x)}$.
计算广义积分 $\int_0^1 \frac{x d x}{\left(3+x^2\right) \sqrt{1-x^2}}$
设 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=1$, 且 $f^{\prime \prime}(x)>0$, 证明当 $x \neq 0$ 时, $f(x)>x$.
已知 $f(x)$ 在 $[0, a]$ 上有连续的导函数, 且 $\left|f^{\prime}(x)\right| \leq M$, 证明
$$
\left|\int_0^a f(x) d x-a f(a)\right| \leq \frac{M a^2}{2} .
$$
设 $y=\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)+\arctan \frac{1}{x}+e^2$, 求 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$.
证明 $x>0$ 时, $\ln (1+x)>x-\frac{1}{2} x^2$.