解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n^2+n+1}+\frac{2}{n^2+n+2}+\cdots+\frac{n}{n^2+n+n}\right)$
求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n^2+1^2}+\frac{2}{n^2+2^2}+\cdots+\frac{n}{n^2+n^2}\right)$.
已知 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{a x^2+x-3}{x-1}=b$, 求常数 $a, b$ 的值.
求极限 $l=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=0}^{n-1} \frac{1}{n+i}$.
设 $a>0$ ，函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，在开 区间 $(a, b)$ 内可导， $f(a) \neq f(b)$. 证明: 存在 $\xi, \eta \in(a, b)$ ， 使得
$$
a b(a+b) f^{\prime}(\xi)=2 \xi \eta^2 f^{\prime}(\eta)
$$
(I) 证明: 方程 $x=1+2 \ln x$ 在 $(e,+\infty)$ 内有唯一实根 $\xi$;
(II) 取 $x_0 \in(e, \xi)$, 令 $x_n=1+2 \ln x_{n-1}(n=1,2, \cdots)$, 证明: $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=\xi$.