解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限: $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1-\cos x}{\int_0^x \frac{\ln (1+x y)}{y} \mathrm{~d} y}$.
求函数 $z=f(x, y)=\left(1+\mathrm{e}^y\right) \cos x-y \mathrm{e}^y$ 的极值.
求函数极限: $\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(\frac{1}{x \cdot(1+x)^{\frac{1}{2}}}-\frac{1}{e x}\right)$.
设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{|x|^a|y|^a}{x^2+y^2}, x^2+y^2 \neq 0 \\ 0, x^2+y^2=0\end{array}\right.$ ，证明:
(1) 当 $a>1$ 时， $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续.
(2) 当 $a>\frac{3}{2}$ 时， $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微.
利用麦克劳林公式求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x-\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2}}}{x^4}$.
计算 $ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}{x^3}$