单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
设曲线积分 $\int_{L}\left[f(x)-e^{x}\right] \sin y d x-f(x) \cos y d y$ 与路径无关, 其中 $f(x)$ 具有一阶连续导数, 且 $f(0)=0$, 则 $f(x)$ 等于
$\text{A.}$ $\frac{e^{-x}-e^{x}}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}-1$
$\text{D.}$ $1-\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$
设函数 $f(x, y)$ 连续, 则累次积分 $\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_{x-1}^{\sqrt{x-x^2}} f(x, y) \mathrm{d} y$ 等于
$\text{A.}$ $\int_{-1}^1 {~d} y \int_0^{y+1} f(x, y) {d} x+\int_0^{\frac{1}{2}} {~d} y \int_0^{\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{1}{4}-y^2}} {~d} x$
$\text{B.}$ $\int_{-1}^1 {~d} y \int_0^{y+1} f(x, y) {d} x+\int_0^{\frac{1}{2}} {~d} y \int_0^{\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{4}-y^2}} {~d} x$
$\text{C.}$ $\int_{-\frac{\pi}{2}}^0 {~d} \theta \int_0^{\frac{1}{\cos \theta-\sin \theta}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r {~d} r+\int_0^{\frac{\pi}{2}} {~d} \theta \int_0^{\cos \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r {~d} r$
$\text{D.}$ $\int_{-\frac{\pi}{2}}^0 \mathrm{~d} \theta \int_0^{\frac{1}{\cos \theta+\sin \theta}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r+\int_0^{\frac{\pi}{2}} {~d} \theta \int_0^{\sin \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r {~d} r$
曲线 $f(x)=\int_x^{\sqrt{3}} x \sin t^2 \mathrm{~d} t$ 与直线 $x=0, x=\sqrt{3}, y=0$ 所围平面图形绕 $y$ 轴旋转一周所形成的 旋转体的体积为
$\text{A.}$ $\frac{1}{3} \pi \sin 3-\pi \cos 3$.
$\text{B.}$ $-\frac{1}{3} \pi \sin 3-\pi \cos 3$.
$\text{C.}$ $\frac{2}{3} \pi \sin 3-2 \pi \cos 3$.
$\text{D.}$ $-\pi \cos 3-\pi \sin 3$.
设曲面 $x y z=a(a>0)$ 与球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 在某点相切,则 $a=$
$\text{A.}$ $\sqrt{3}$.
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}$.
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{3}}{9}$.
设级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln ^p n}$ 与积分 $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{\cos x}(\sqrt{\sin x})^p}(p>0)$ 均收玫, 则
$\text{A.}$ $1 < p < 2$.
$\text{B.}$ $0 < p \leqslant 2$.
$\text{C.}$ $0 < p < 1$.
$\text{D.}$ $1 \leqslant p \leqslant 2$.
设 $y_1=\mathrm{e}^{-x}, y_2=2 x$ 是常系数齐次线性微分方程 $y^{\prime \prime \prime}+a y^{\prime \prime}+b y^{\prime}+c y=0$ 的两 个解, 则该方程的通解可为
$\text{A.}$ $C_1 \mathrm{e}^{-x}+C_2+C_3 x$.
$\text{B.}$ $C_1 \mathrm{e}^{-x}+C_2 \mathrm{e}^x+C_3 x$.
$\text{C.}$ $C_1 \mathrm{e}^{-x}+C_2 \mathrm{e}^x+C_3$.
$\text{D.}$ $C_1 \mathrm{e}^{-x}+C_2 x \mathrm{e}^x+C_3$.