单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
在空间直角坐标系下, 下列曲面方程中为平面方程的是
$\text{A.}$ $y-2 x^2=0$
$\text{B.}$ $x^2+y^2-z+1=0$
$\text{C.}$ $2 x+y+6 z+5=0$
$\text{D.}$ $\sin x-x y=0$
设 $y=y(x)$ 是方程 $x^2 y^2+y=1(y>0)$ 所确定的函数, 则 (. .).
$\text{A.}$ $y(x)$ 有极小值，但无极大值
$\text{B.}$ $y(x)$ 有极大值，但无极小值
$\text{C.}$ $y(x)$ 既有极大值, 又有极小值
$\text{D.}$ $y(x)$ 无极值
函数 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处连续，且两个偏导数 $f_x\left(x_0, y_0\right), f_y\left(x_0, y_0\right)$ 存在是 $f(x, y)$ 在该点可微的 ( ).
$\text{A.}$ 充分条件，但不是必要条件;
$\text{B.}$ 必要条件, 但不是充分条件;
$\text{C.}$ 充分必要条件;
$\text{D.}$ 既不是充分条件, 也不是必要条件.
设 $f(x)$ 是连续的偶函数，且 $f(x)$ 以 $2 \pi$ 为周期，则 $g(x)=\int_0^x \sin (x-t) f(t) d t$ 必是 $($ ）
$\text{A.}$ 奇函数
$\text{B.}$ 偶函数
$\text{C.}$ 以 $\pi$ 为周期的奇函数
$\text{D.}$ 以 $2 \pi$ 为周期的偶函数
已知函数 $f(x, y)=\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2-x y}$, 则 $x \frac{\partial f(x, y)}{\partial x}+y \frac{\partial f(x, y)}{\partial y}=$
$\text{A.}$ 0.
$\text{B.}$ 1 .
$\text{C.}$ 2.
$\text{D.}$ 3 .
$\text{E.}$ 4
设 $\Sigma$ 为柱面 $x^2+y^2=a^2(0 \leqslant z \leqslant 3)$, 其向外的单位法向量 $n ^{\circ}=\{\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma\}$, 则 $\iint_{\Sigma}(x \cos \alpha+y \cos \beta+z \cos \gamma) d S$ 等于
$\text{A.}$ 0 .
$\text{B.}$ $\iint_{\Sigma} z \cos \gamma d S$.
$\text{C.}$ $9 \pi a^2$.
$\text{D.}$ $6 \pi a^2$.
若 $\frac{\sin \xi}{\xi}, \frac{\sin \eta}{\eta}$ 分别为 $\frac{\sin x}{x}$ 在 $(0,1)$ 和 $(0, a)(0 < a < 1)$ 上的平均值, 其中 $\xi \in(0,1), \eta \in$ $(0, a)$, 则 $\xi$ 与 $\eta$ 的大小关系为 ( )
$\text{A.}$ $\xi < \eta$.
$\text{B.}$ $\xi=\eta$.
$\text{C.}$ $\xi>\eta$.
$\text{D.}$ 从已知条件无法确定.
一个容器的内侧是由曲线 $x^2+y^2=a^2\left(y \leq \frac{a}{2}, a>0\right)$ 绕 $y$ 轴旋转一周而成的曲面, 其中长度单位为 $m$ ，重力加速度为 $g\left(m / s^2\right)$ ，水的密度为 $\rho\left( kg / m ^3\right)$ ，若将容器内盛满的水从容器中全部抽出至少需要做的功为（）
$\text{A.}$ $\frac{45}{64} \rho g \pi a^4(J)$
$\text{B.}$ $\frac{45}{32} \rho g \pi a^4(J)$
$\text{C.}$ $\frac{45}{16} \rho g \pi a^4(J)$
$\text{D.}$ $\frac{45}{8} \rho g \pi a^4(J)$
已知 $f(x)=\max \left\{1, x^2\right\}$, 则 $\int f(x) d x=$
$\text{A.}$ $\begin{cases}\frac{x^3}{3}-\frac{2}{3}+C, & x < -1 \\ x+C, & -1 \leq x \leq 1 \\ \frac{x^3}{3}+\frac{2}{3}+C, & x>1\end{cases}$
$\text{B.}$ $\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^3}{3}+C, & x < -1 \\ x+C, & -1 \leq x \leq 1 \\ \frac{x^3}{3}+C, & x>1\end{array}\right.$
$\text{C.}$ $\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^3}{3}+C_1, & x < -1 \\ x+C_2, & -1 \leq x \leq 1 \\ \frac{x^3}{3}+C_3, & x>1\end{array}\right.$
$\text{D.}$ $\left\{\begin{array}{l}\frac{x^3}{3}-\frac{4}{3}+C, \quad x < -1 \\ x+C, \quad-1 \leq x \leq 1 \\ \frac{x^3}{3}+\frac{2}{3}+C, \quad x>1\end{array}\right.$
设 $A=\int_0^2\left[e^x\right] d x, B=\iint_D\left(x^2+x y+y^2\right) d \sigma$ ，其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 2 x+2 y\right\},[x]$ 表示不超过 $x$的最大整数，则 $\frac{A}{B}=($
$\text{A.}$ $\frac{14-\ln (7!)}{8 \pi}$
$\text{B.}$ $\frac{14-\ln (7!)}{10 \pi}$
$\text{C.}$ $\frac{-14+\ln (7!)}{8 \pi}$
$\text{D.}$ $\frac{-14+\ln (7!)}{10 \pi}$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}+\cdots+\frac{1}{(n+n)^2}\right)=$
若可导函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处取得极大值, 则必有 $f^{\prime}\left(x_0\right)$ 等于
已知曲线 $y=a x^2$ 与曲线 $y=\ln x$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处相切, 则曲线 $y=a x^2$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处的法线方程是 $\qquad$ .
设 $z=\int_0^{x^2 y} f\left(t, e ^t\right) d t$, 其中 $f$ 一阶偏导连续, 则 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=$
广义积分 $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^3} d x=$
重积分 $\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} \min \{x, y\} e^{-x^2-y^2} d x d y=\quad\left(\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{t^2}{2}} d t=\right.$ $\sqrt{2 \pi}$ ，此为泊松积分）
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求$f(x)=x^3 \ln x$ 在 $x_0=1, n=4$ 得拉格朗日余项；
设 $x_1=1, x_n=1+\frac{x_{n-1}}{x_{n-1}+1}$ ，求 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ ．
设 $x$ 轴正向到方向 $l$ 的转角为 $\varphi$, 求函数 $f(x, y)=x^2-x y+y^2$ 在点 $(1,1)$ 沿方向 的方向导数，并分别确定转角 $\varphi$ ，使这导数有（1）最大值；（2）最小值;（3）等于零.
设 $t>0$ ，平面有界区域 $D$ 由曲线 $y=\sqrt{x} e ^{-x}$ 与直线 $x=t, x=2 t$ 及 $x$ 轴围成，$D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所成旋转体的体积为 $V(t)$ ，求 $V(t)$ 的最大值．
设双叶双曲面 $S: x^2+y^2-z^2=-2$. 记以 $M_0(1,1,-1)$ 为顶点且与 $S$ 的上半叶$S^{+}=\{(x, y, z) \in S \mid z \geq \sqrt{2}\}$相切的所有切线构成的锥面为 $\Sigma$ 。
(1) 求锥面 $\Sigma$ 的方程;
(2) 求 $S^{+} \cap \Sigma$ 所在平面 $\pi$ 的方程.
给定积分 $I=\iint_D\left[\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2\right] d x d y$, 作正则变换 $x=x(u, v), y=y(u, v)$, 区域 $D$ 变为 $\Omega$ ，如果变换满足
$$
\frac{\partial x}{\partial u}=\frac{\partial y}{\partial v}, \quad \frac{\partial x}{\partial v}=-\frac{\partial y}{\partial u}
$$
证明:
$$
I=\iint_{\Omega}\left[\left(\frac{\partial f}{\partial u}\right)^2+\left(\frac{\partial f}{\partial v}\right)^2\right] d u d v
$$