考研数学91-数学组卷-自助组卷

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考研数学91

一、单选题（共 40 题），每题只有一个选项正确

1. 设

\sin x^{n} (\sqrt{1 + x^{2}} - 1) + 1

是

f (x)

的一个原函数,

g (x) = k \int_{0}^{x} (e^{t^{2}} - 1) d t

, 若

x \to 0

时

f (x)

与

g (x)

是等价无穷小, 则 ( ).

A.

k = 6, n = 2

B.

k = 4, n = 2

C.

k = 6, n = 3

D.

k = 4, n = 3

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2. 设

y = y (x)

是方程

x^{2} y^{2} + y = 1 (y > 0)

所确定的函数, 则 ( ).

A.

y (x)

有极小值, 但无极大值

B.

y (x)

有极大值, 但无极小值

C.

y (x)

既有极大值, 又有极小值

D.

y (x)

无极值

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3. 设

f

为二元可微函数,

z = y f (\frac{y}{x}, x y)

, 则

\frac{x}{y} \cdot \frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial y} =

A.

f + 2 \frac{x}{y} \cdot f_{1}^{'}

B.

f - 2 \frac{x}{y} \cdot f_{1}^{'}

C.

f + 2 x y f_{2}^{'}

D.

f - 2 x y f_{2}^{'}

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4. 设

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

为收敛的正项级数, 级数

\sum_{n = 1}^{\infty} (b_{n} - b_{n + 1})

收敛, 则级数

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} b_{n} (

).

A.

绝对收敛

B.

条件收敛

C.

发散

D.

敛散性不定

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5. 设

4 \times 5

阶矩阵

A = (\begin{array}{l} α_{1}^{T} \\ α_{2}^{T} \\ α_{3}^{T} \\ α_{4}^{T} \end{array})

, 且

η_{1} = (1, 1, - 2, 1)^{T}, η_{2} = (0, 1, 0, 1)^{T}

是齐次线性方程组

A^{T} x = 0

的基础解系，现有 4 个命题
(1)

α_{1}, α_{3}

线性无关;
(2)

α_{1}

可由

α_{2}, α_{3}

线性表出
(3)向量组

α_{3}, α_{4}

为向量组

α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}

的一个极大无关组
(4) 向量组

α_{1}, a_{1} + α_{2}, α_{3} + 2 α_{4}

秩为 3 。

以上命题中正确的是 ( ).

A.

(1)(3)

B.

(2)(4)

C.

(2)(3)

D.

(1)(4)

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6. 设

A

为

n

阶方阵, 将

A

的第 3 行的 2 倍加到第 1 行, 然后再将第 1 列的 -2 倍加到第 3列，得到矩阵为

B

，则

A

和

B ()

。

A.

完全相同

B.

相似又等价，

C.

等价但不一定相似

D.

合同但不相似

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7. 已知 3 阶矩阵

A

与 3 维列向量

α

, 若向量组

α, A α, A^{2} α

线性无关, 且

A^{3} α = 3 A α - 2 A^{2} α

, 则秩

r (A) = ()

.

A.

0

B.

1

C.

2

D.

3

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8. 设

A, B

为两随机事件, 若

P (\bar{A}) = 0.4, P (B ∣ A) = 0.5, P (A ∣ B) = 0.6

, 则 ( )

A.

事件

A, B

独立, 且

P (A - B) = 0.1

B.

事件

A, B

独立, 且

P (A - B) = 0.3

C.

事件

A, B

不独立, 且

P (A - B) = 0.5

D.

事件

A, B

不独立, 且

P (A - B) = 0.3

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9. 设随机变量

X \sim E (λ)

, 且

X

的数学期望

E (X) = \frac{1}{2}, Y

表示对

X

的三次独立观察中事件 "

X > 1

" 出现的次数, 则概率

P {Y \geq 1} =

( ).

A.

1 - {(1 - e^{- 2})}^{3}

B.

1 - {(1 - e^{- \frac{1}{2}})}^{3}

C.

1 - 3 e^{- 2} {(1 - e^{- 2})}^{2}

D.

3 e^{- 4} (1 - e^{- 2})

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10. 设随机变量

X

服从参数

λ = 2

的普松分布,

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

是

X

的一组容量为

n

的样本,若要求样本均值

\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

大于

μ + \frac{σ}{4}

的概率不大于 0.05 (其中

μ = E X, σ^{2} = D X

),根据中心极限定理，则

n

至少大于（）。

A.

6

B.

12

C.

36

D.

43

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11. 设

f (x) = \frac{(x + 1) \sin (x - 1)}{x (x - 1)^{2}}

, 则

x = 1

是

f (x)

的 ( ).

A.

跳跃间断点

B.

连续点

C.

可去间断点

D.

无穷间断点

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12. 设

f (x) = \frac{1 + e^{- x^{2}}}{1 - e^{- x^{2}}}

, 则曲线

f (x)

().

A.

仅有水平渐近线

B.

仅有铅直渐近线

C.

既有水平渐近线又有铅直渐近线

D.

没有渐近线

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13. 若函数

f (x) = {\begin{array}{cc} x^{2}, & x \leq 1 \\ a x + b, & x > 1 \end{array}

在

x = 1

处可导, 则 (

A.

a = - 1, b = 2

B.

a = 1, b = - 1

C.

a = 2, b = 0

D.

a = 2, b = - 1

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14. 已知

y = \ln (1 - x)

, 则

\frac{d^{n} y}{d x^{n}} = ()

.

A.

(- 1)^{n - 1} \frac{(n - 1)!}{(1 - x)^{n}}

B.

- \frac{(n - 1)!}{(1 - x)^{n}}

C.

(- 1)^{n - 1} \frac{1}{(1 - x)^{n}}

D.

- \frac{1}{(1 - x)^{n}}

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15. 设在

[0, 1]

上

f^{''} (x) > 0

, 则下列顺序正确的是 ( ).

A.

f^{'} (1) > f^{'} (0) > f (1) - f (0)

B.

f (1) - f (0) > f^{'} (1) > f^{'} (0)

C.

f^{'} (1) > f (1) - f (0) > f^{'} (0)

D.

f^{'} (1) > f (0) - f (1) > f^{'} (0)

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16. 函数

f (x) = x e^{x}

的带有皮亚诺型余项的

n

阶麦克劳林公式为 ( ).

A.

x e^{x} = x + \frac{x^{2}}{2!} + \dots + \frac{x^{n}}{n!} + o (x^{n})

B.

x e^{x} = x + x^{2} + \frac{x^{3}}{2!} + \dots + \frac{x^{n}}{(n - 1)!} + o (x^{n})

C.

x e^{x} = x + \frac{x^{2}}{2} + \dots + \frac{x^{n}}{n} + o (x^{n})

D.

x e^{x} = x + x^{2} + \frac{x^{3}}{2} + \dots + \frac{x^{n}}{n - 1} + o (x^{n})

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17.

lim_{x \to 0} \frac{\int_{\cos x}^{1} e^{- t^{2}} d t}{x^{2}} = ()

.

A.

\frac{1}{e}

B.

\infty

C.

- \frac{1}{2 e}

D.

\frac{1}{2 e}

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18. 下列反常积分收敛的是 ( ).

A.

\int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{x}{1 + x^{2}} d x

B.

\int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{1}{1 + x^{2}} d x

C.

\int_{- \infty}^{+ \infty} \sin x d x

D.

\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{\sqrt{x}}

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19. 一物体按规律

s = t^{2}

做直线运动, 介质的阻力

F

与速度

v

的平方成正比

(F = k v^{2}, k

是比例常数), 则物体从

s = 0

移到

s = a

克服介质阻力所作的功为 ( ).

A.

\int_{0}^{\sqrt{a}} 8 k t^{3} d t

B.

\int_{0}^{a} 8 k t^{3} d t

C.

\int_{0}^{\sqrt{a}} k v^{2} d t

D.

\int_{0}^{a} k v^{2} d t

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20. 设线性无关函数

y_{1}, y_{2}, y_{3}

都是二阶非齐次线性方程

y^{''} + P (x) y^{'} + Q (x) y = f (x)

的解,

C_{1}, C_{2}

是任意常数, 则对应齐次方程

y^{''} + P (x) y^{'} + Q (x) y = 0

的通解是 ( ).

A.

C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2}

B.

C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2} - 2 y_{3}

C.

C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2} - (C_{1} + C_{2}) y_{3}

D.

C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2} + (1 - C_{1} - C_{2}) y_{3}

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21. 设函数

f (x)

在区间

(0, + \infty)

内有二阶导数, 满足

f (0) = 0, f^{''} (x) < 0

, 又

0 < a < b

, 则当

a < x < b

时，恒有（）

A.

a f (x) > x f (a)

B.

x f (x) > a f (a)

C.

x f (x) > b f (b)

D.

b f (x) > x f (b)

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22. 已知

f (x)

二阶可导, 且

f^{''} (x) < 0, f (1) = 1, f^{'} (1) = - 1

, 则函数

f (x)

在

(1, 2)

内( )

A.

有极值点，无零点

B.

无极值点, 有零点

C.

有极值点, 有零点

D.

无极值点, 无零点

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23. 设

f (1) = 0, f^{'} (1) = a

, 则极限

lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + 2 f (e^{x^{2}})} - \sqrt{1 + f (1 + \sin^{2} x)}}{\ln \cos x}

为

A.

a

B.

- a

C.

3 a

D.

- 3 a

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24. 设二阶常系数齐次线性微分方程

y^{''} + b y^{'} + y = 0

的每一个解

y (x)

都在区间

(0, + \infty)

上有界, 则实数

b

的取值范围是( )

A.

[0, + \infty)

B.

(- \infty, 0)

C.

(- \infty, 4)

D.

(- \infty, + \infty)

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25. 设

f (x)

是连续的偶函数，且

f (x)

以

2 π

为周期，则

g (x) = \int_{0}^{x} \sin (x - t) f (t) d t

必是

(

）

A.

奇函数

B.

偶函数

C.

以

π

为周期的奇函数

D.

以

2 π

为周期的偶函数

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26. 一个容器的内侧是由曲线

x^{2} + y^{2} = a^{2} (y \leq \frac{a}{2}, a > 0)

绕

y

轴旋转一周而成的曲面, 其中长度单位为

m

，重力加速度为

g (m / s^{2})

，水的密度为

ρ (k g / m^{3})

，若将容器内盛满的水从容器中全部抽出至少需要做的功为（）

A.

\frac{45}{64} ρ g π a^{4} (J)

B.

\frac{45}{32} ρ g π a^{4} (J)

C.

\frac{45}{16} ρ g π a^{4} (J)

D.

\frac{45}{8} ρ g π a^{4} (J)

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27. 若

u (x, y)

的二阶偏导数存在且

u \neq 0

，则条件

u \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y} = \frac{\partial u}{\partial x} \cdot \frac{\partial u}{\partial y}

是

u (x, y) = f (x) g (y)

的

A.

充分非必要条件

B.

充要条件

C.

既非充分也非必要条件

D.

必要非充分条件

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28. 设实矩阵

A = {(a_{i j})}_{3 \times 3}

满足

a_{i j} = A_{i j} (i, j = 1, 2, 3)

且

a_{33} = - 1

, 则下列命题正确的是( )
(1)矩阵

A

是实对称矩阵.
(2)矩阵

A

是正交矩阵.
(3)矩阵

A

与三阶单位矩阵等价.
(4)矩阵

A

与三阶单位矩阵合同.
(5)矩阵

A

与三阶单位矩阵相似.

A.

(2)(3)(5)

B.

(1)(2)(3)

C.

(1)(3)(4)

D.

(1)(3)(4)(5)

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29. 已知三维向量组

α_{1} = (- 1, 2, 6)^{T}, α_{2} = (2, 1, 4)^{T}, β_{1} = (4, - 3, 2)^{T}, β_{2} = (- 1, - 8, 4)^{T}

, 则既可以由

α_{1}, α_{2}

线性表示,也可以由

β_{1}, β_{2}

线性表示的非零向量是

A.

(13, - 1, 2)^{T}

B.

(- 3, 5, - 3)^{T}

C.

(3, - 11, 6)^{T}

D.

(1, 3, 10)^{T}

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30. 三阶矩阵

A = α α^{T} + 4 β β^{T}

, 正交矩阵

Q = (α, γ, β)

, 则

x^{T} [(A + E)^{*} - 5 E] x

在

x^{T} x = 5

下的最大值是

A.

25

B.

0

C.

5

D.

-15

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31. 设

α_{1}, α_{2}, α_{3}, β_{1}, β_{2}

都是 4 维列向量, 且 4 阶行列式

| α_{1}, α_{2}, α_{3}, β_{1} | = m, | α_{1}, α_{2}, β_{2}, α_{3} | = n

, 则 4 阶行列式

| α_{3}, α_{2}, α_{1}, β_{1} + β_{2} |

等于

A.

m + n

B.

- (m + n)

C.

n - m

D.

m - n

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32. 设

D = | \begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} |, A_{i j}

为

D

的

(i, j)

元的代数余子式, 则

A_{31} + 2 A_{32} + 3 A_{33} =

A.

| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |

B.

| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ 1 & - 2 & 3 \end{array} |

C.

| \begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & 1 \\ a_{21} & a_{22} & 2 \\ a_{31} & a_{32} & 3 \end{array} |

D.

| \begin{array}{llc} a_{11} & a_{12} & 1 \\ a_{21} & a_{22} & - 2 \\ a_{31} & a_{32} & 3 \end{array} |

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33. 设

A

为

m \times n

矩阵，

E

为

m

阶单位矩阵，则下列结论错误的是

A.

A^{⊤} A

是对称矩阵

B.

A A^{T}

是对称矩阵

C.

A^{T} A + A A^{T}

是对称矩阵

D.

E + A A^{T}

是对称矩阵

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34. 设

A

为

n

阶可逆方阵,

k

为非零常数,则有 ( ).

A.

(k A)^{- 1} = k A^{- 1}

B.

(k A)^{T} = k A^{T}

C.

| k A | = k | A |

D.

(k A)^{*} = k A^{*}

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35. 设

A

为可逆矩阵, 则

{[{(A^{- 1})}^{T}]}^{- 1} =

.

A.

A

B.

A^{T}

C.

A^{- 1}

D.

{(A^{- 1})}^{T}

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36. 设

A

为

n

阶矩阵, 且

| A | = 1

, 则

{(A^{*})}^{*} = ()

.

A.

A^{- 1}

B.

- A

C.

A

D.

A^{2}

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37. 设

f (x)

在

x = 0

处连续, 且

lim_{x \to 0} \frac{x^{2} [1 + f (x)]}{x - \sin x} = 6

, 则曲线

y = f (x)

在点

(0, f (0))

处的法线方程为 ( )

A.

y = - x - 1

B.

y = x - 1

C.

y = - x + 1

D.

y = x + 1

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38. 设函数

f (x) = {\begin{cases} [x] \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0, \\ 0, & x = 0, \end{cases}

其中

[x]

表示对

x

取整, 则

x = 0

是

f (x)

的 ( )

A.

振荡间断点, 且为极值点

B.

第一类间断点, 且不为极值点

C.

振荡间断点, 且不为极值点

D.

无穷间断点, 且为极值点

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39. 方程

\frac{1}{x - a_{1}} + \frac{1}{x - a_{2}} + \dots + \frac{1}{x - a_{n}} = 0 (a_{1} < a_{2} < \dots < a_{n})

的实根个数为 ( )

A.

0

B.

1

C.

n - 1

D.

n

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40. 设函数

y (x)

满足方程

y^{''} - 2 y^{'} + k y = 0 (0 < k < 1)

, 则以下选项中必定收敛的是

()

A.

\int_{0}^{+ \infty} y (x) d x

B.

\int_{0}^{- \infty} y (x) d x

C.

\int_{0}^{+ \infty} x^{2} y (x) d x

D.

\int_{0}^{+ \infty} x^{- 2} y (x) d x

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