单选题 （共 20 题 ），每题只有一个选项正确
设 $m, n$ 均为正整数, 并且 $m < n$, 设 $\boldsymbol{A}$ 为 $m \times m$ 的矩阵, $\boldsymbol{B}$ 为 $m \times n$ 的矩阵, $\boldsymbol{C}$ 为 $n \times m$ 的矩阵, 已知 $\boldsymbol{A B C}=\boldsymbol{E}$, 设 $\boldsymbol{A}^*$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵, 则下列说法正确的个数有 （ ） 个
①$B C A=E$
②$C A B=E$
③$C^* B^* A^*=E$
④${A}^T {C}^T {B}^T={E}$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
下列说法中正确的是
$\text{A.}$ 若 3 个 3 维列向量 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 两两正交, 则 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性无关
$\text{B.}$ 若 3 个 3 维列向量 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性无关, 则 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 两两正交
$\text{C.}$ 若 3 个 2 维列向量 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 两两正交, 则 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 中至少一个为 0
$\text{D.}$ 若 3 个 2 维列向量 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 两两正交, 则 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 中只能有一个为 $\mathbf{0}$
矩阵 $A$ 是由 3 阶单位矩阵 $E$ 依次经过初等变换 $c_1+2 c_3, r_2 \leftrightarrow r_3$ 得到的, 其对应的初等 矩阵分别为 $P_1=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1\end{array}\right), P_2=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right)$, 则 $A$ 可以表示为
$\text{A.}$ $P_1 P_2$
$\text{B.}$ $P_1^{-1} P_2$
$\text{C.}$ $P_2 P_1$
$\text{D.}$ $P_2 P_1^{-1}$
设 $A=\left(\begin{array}{lll}9 & x & 1 \\ x & 4 & 0 \\ 3 & 2 & 1\end{array}\right), A^*$ 为方阵 $A$ 的伴随矩阵, 且 $A^* x=0$ 只有零解, 则
$\text{A.}$ $x=-4$;
$\text{B.}$ $x=6$;
$\text{C.}$ $x=-4$ 或 $x=6$;
$\text{D.}$ $x \neq-4$ 且 $x \neq 6$.
设 $A, B, C, D$ 是四个 4 阶矩阵, 其中 $A, D$ 为非零矩阵, $B, C$ 可逆, 且满足 $A B C D=O$, 若 $r (A)+$ $r (B)+ r (C)+ r (D)= r$, 则 r 的取值范围是
$\text{A.}$ $r < 10$.
$\text{B.}$ $10 \leqslant r \leqslant 12$
$\text{C.}$ $12 < r < 16$
$\text{D.}$ $r \geqslant 16$
设 $n$ 阶矩阵 $A, B$ 满足 $A A^T=E, B B^T=E$, 其中 $E$ 是 $n$ 阶单位矩阵,则()
$\text{A.}$ $|A+B|=|A|+|B|$ 总成立
$\text{B.}$ $|A+B|=|A|+|B|$ 总不成立
$\text{C.}$ 当 $|A||B| < 0$ 时, $|A+B|=|A|+|B|$ 成立
$\text{D.}$ 当 $|A||B|>0$ 时, $|A+B|=|A|+|B|$ 成立
设 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵， $E$ 为 $m$ 阶单位矩阵，则下列结论错误的是
$\text{A.}$ $A ^{\top} A$ 是对称矩阵
$\text{B.}$ $A A ^{ T }$ 是对称矩阵
$\text{C.}$ $A ^{ T } A + A A ^{ T }$ 是对称矩阵
$\text{D.}$ $E + A A ^{ T }$ 是对称矩阵
设 $A$ 为 $n$ 阶可逆方阵, $k$ 为非零常数,则有 ( ).
$\text{A.}$ $(k A )^{-1}=k A ^{-1}$
$\text{B.}$ $(k A )^{ T }=k A ^{ T }$
$\text{C.}$ $|k A |=k| A |$
$\text{D.}$ $(k A )^*=k A ^*$
设 $A$ 为可逆矩阵, 则 $\left[\left( A ^{-1}\right)^{ T }\right]^{-1}=$.
$\text{A.}$ $A$
$\text{B.}$ $A ^{ T }$
$\text{C.}$ $A ^{-1}$
$\text{D.}$ $\left( A ^{-1}\right)^{ T }$
设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵, 且 $| A |=1$, 则 $\left( A ^*\right)^*=(\quad)$.
$\text{A.}$ $A ^{-1}$
$\text{B.}$ $- A$
$\text{C.}$ $A$
$\text{D.}$ $A ^2$
设矩阵 $A =\left(\begin{array}{cccc}1 & -3 & 1 & -2 \\ 2 & -5 & -2 & -2 \\ 0 & -4 & 5 & 1 \\ -3 & 9 & -6 & 7\end{array}\right), M_{3 j}$ 是 $A$ 的第 3 行第 $j$ 列元素的余子式 $(j=1,2,3,1)$.则 $M_{31}+3 M_{32}-2 M_{33}+2 M_{34}=$
$\text{A.}$ 0.
$\text{B.}$ 1 .
$\text{C.}$ -2 .
$\text{D.}$ -3 .
设 $n$ 阶矩阵 $A, B, C$ 满足 $r(A)+r(B)+r(C)=r(A B C)+2 n$, 给出下列四个结论:
(2) $r(A B C)+n=r(A B)+r(C) ;$
(2) $r(A B)+n=r(A)+r(B)$;
(3) $r(A)=r(B)=r(C)=n$;
(3) $r(A B)=r(B C)=n$ ，其中正确的选项是
$\text{A.}$ (1)(2)
$\text{B.}$ (1)(3)
$\text{C.}$ (2)(4)
$\text{D.}$ (3)(4)
设 $A, B$ 是三阶可逆矩阵, $A^*$ 是 $A$ 的伴随矩阵, 若 $|A|=2$, 则
$$
\left(A^* B^{-1} A\right)^{-1}=
$$
$\text{A.}$ $\frac{1}{2} A^{-1} B A$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{8} A^{-1} B A$.
$\text{C.}$ $2 A^{-1} B A$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{2} A B A^{-1}$.
设 $A$ 为 2 阶可逆矩阵, $A^{-1}=\left(\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right)$. 将 $A$ 第一行的 2 倍加到第二行上, 得到矩阵 $B$, 则 $B^{-1}=$
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{ll}a_{11}-\frac{1}{2} a_{12} & a_{12} \\ a_{21}-\frac{1}{2} a_{22} & a_{22}\end{array}\right)$.
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12}+\frac{1}{2} a_{11} \\ a_{21} & a_{22}+\frac{1}{2} a_{21}\end{array}\right)$.
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{ll}a_{11}-2 a_{12} & a_{12} \\ a_{21}-2 a_{22} & a_{22}\end{array}\right)$.
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{ll}a_{11}+2 a_{12} & a_{12} \\ a_{21}+2 a_{22} & a_{22}\end{array}\right)$.
设 n 阶方阵 $A$ 不可逆，则必有
$\text{A.}$ 秩 $( A ) < n$
$\text{B.}$ 秩 $( A )=n-1$
$\text{C.}$ $A=0$
$\text{D.}$ 方程组 $A x =0$ 只有零解
设 $A , B$ 均是 $n$ 阶矩阵，且 $A B = A + B$ ，则（ ）．
$\text{A.}$ $A - E$ 为可逆矩阵
$\text{B.}$ $A + E$ 为可逆矩阵
$\text{C.}$ $A -2 E$ 为可逆矩阵
$\text{D.}$ $B + E$ 为可逆矩阵
设 $A$ 是 3 阶矩阵，将 $A$ 的第1 列与第 2 列互换得到 $B$ ，再将 $B$ 的第 2 列加到第 3 列得到 $C$ ，则满足 $A Q= C$ 的可逆矩阵 $Q$ 为（ ）
$\text{A.}$ $\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right]$
$\text{B.}$ $\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$
$\text{C.}$ $\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right]$
$\text{D.}$ $\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$
若矩阵 $\left[\begin{array}{cccc}1 & 2 & -1 & 1 \\ 2 & 0 & t & 0 \\ 0 & -4 & 5 & -2\end{array}\right]$ 的秩为 2 ，则 $t=$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设 $A$ 为 n 阶可逆矩阵，则下列结论错误的是（）
$\text{A.}$ $\left(A^*\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^*$
$\text{B.}$ $\left|A^*\right|=|A|^{n-1}$
$\text{C.}$ $(k A)^*=k^{n-1} A^*$
$\text{D.}$ 若 $|A|=0$ ，则 $A^*=0$
设矩阵 $A=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 1 & 1\end{array}\right]$ ，则 $r(A+B)=()$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3