单选题 （共 11 题 ），每题只有一个选项正确
设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵, $C$ 是 $n$ 阶可逆矩阵, 矩阵 $A$ 的秩为 $r$, 矩阵 $B = A C$ 的秩为 $r_1$,则
$\text{A.}$ $r>r_1$.
$\text{B.}$ $r < r_1$.
$\text{C.}$ $r=r_1$.
$\text{D.}$ $r$ 与 $r_1$ 的关系依 $C$ 而定.
设 $n(n \geqslant 3)$ 阶矩阵
$$
A =\left(\begin{array}{ccccc}
1 & a & a & \cdots & a \\
a & 1 & a & \cdots & a \\
a & a & 1 & \cdots & a \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
a & a & a & \cdots & 1
\end{array}\right),
$$
若矩阵 $A$ 的秩为 $n-1$, 则 $a$ 必为
$\text{A.}$ 1.
$\text{B.}$ $\frac{1}{1-n}$.
$\text{C.}$ -1 .
$\text{D.}$ $\frac{1}{n-1}$.
已知 $Q =\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & t \\ 3 & 6 & 9\end{array}\right), P \neq O$, 使 $P Q = O$ 则 ( )
$\text{A.}$ 当 $t=6$ 时, $r( P )=1$.
$\text{B.}$ 当 $t=6$ 时, $r(P)=2$.
$\text{C.}$ 当 $t \neq 6$ 时, $r(P)=1$.
$\text{D.}$ 当 $t \neq 6$ 时, $r(P)=2$.
设 $A, B, C, D$ 是四个 4 阶矩阵, 其中 $A, D$ 为非零矩阵, $B, C$ 可逆, 且满足 $A B C D=O$, 若 $r (A)+$ $r (B)+ r (C)+ r (D)= r$, 则 r 的取值范围是
$\text{A.}$ $r < 10$.
$\text{B.}$ $10 \leqslant r \leqslant 12$
$\text{C.}$ $12 < r < 16$
$\text{D.}$ $r \geqslant 16$
矩阵 $\left(\begin{array}{lll}1 & a & 1 \\ a & b & a \\ 1 & a & 1\end{array}\right)$ 与 $\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ 相似的充分必要条件是
$\text{A.}$ $a=0, b=2$
$\text{B.}$ $a=0, b$ 为任意常数
$\text{C.}$ $a=2, b=0$
$\text{D.}$ $a=2, b$ 为任意常数
设矩阵 $H =\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3\end{array}\right]$ ，则与 $H$ 相似的矩阵是（ ）。
$\text{A.}$ $A =\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$
$\text{B.}$ $B =\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 0\end{array}\right]$
$\text{C.}$ $C =\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ a & a & a \\ -a & -a & -a\end{array}\right]$
$\text{D.}$ $D =\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 1\end{array}\right]$
设 $A, \mathrm{~B}$ 都是 n 阶对称矩阵，则下面结论中不正确的是
$\text{A.}$ $A+B$ 也是对称矩阵
$\text{B.}$ $A^m+B^m$ （其中 $m$ 是正整数）也是对称矩阵
$\text{C.}$ $B A^T+A B^T$ 也是对称矩阵
$\text{D.}$ $A B$ 也是对称矩阵
设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，则下列结论中错误的是（ ）
$\text{A.}$ 若 $A$ 可逆，则 $A$ 的全部特征值都不等于 0
$\text{B.}$ 若 $A$ 存在对应特征值 $\lambda$ 的 $n$ 个线性无关的特征向量，则 $A=\lambda E$
$\text{C.}$ 若 $\lambda_0$ 是 $A$ 的特征值，方程 $\left(\lambda_0 E-A\right) X=0$ 的全部解就是对应 $\lambda_0$ 的全部特征向量
$\text{D.}$ $A$ 与 $A^T$ 有相同的特征值
设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，且 $|A|=2$ ，则 $|2 A|=$
$\text{A.}$ $2^n$
$\text{B.}$ $2^{n+1}$
$\text{C.}$ $2^{n-1}$
$\text{D.}$ 2
设 $A$ 为 3 阶方阵，且 $r(A)=2$ ，则齐次线性方程组 $A x=0$ 的基础解系所含向量的个数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，则
$\text{A.}$ $A$ 的特征值都是实数
$\text{B.}$ $A$ 的特征向量都是实向量
$\text{C.}$ A必可相似对角化
$\text{D.}$ 以上都对
判断题 （共 1 题 ）
若 $A$ 为 $n$ 阶正交矩阵，则 $|A|=1$
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
填空题 （共 2 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
方程组 $A x=0$ 有非零解是非齐次方程组 $A B=b$ 有无穷组解的 $\_\_\_\_$条件
$\alpha, \beta$ 分别为实对称矩阵 A 的两个不同特征值 $\lambda_1, \lambda_2$ 所对应的特征向量，则 $\alpha$ 与 $\beta$ 的内积 $(\alpha, \beta) =$
解答题 （共 13 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设方阵 $\boldsymbol{A}$ 满足
$\boldsymbol{A}^2-\boldsymbol{A}-2 \boldsymbol{E}=\boldsymbol{O}...(2.4),$
证明 $\boldsymbol{A}$ 及 $\boldsymbol{A}+2 \boldsymbol{E}$ 都可逆,并求 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 及 $(\boldsymbol{A}+2 \boldsymbol{E})^{-1}$.
设 $A =\left(\begin{array}{rrr}1 & -2 & 3 k \\ -1 & 2 k & -3 \\ k & -2 & 3\end{array}\right)$, 问 $k$ 为何值,可使
(1) $R( A )=1$ ；
(2) $R(A)=2$;
(3) $R( A )=3$.
试证：若多项式 $f(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots+a_n x^n$ 有 $n+1$个两两不等的零点：$x_1, x_2, \cdots, x_{n+1}\left(x_i \neq x_j, i, j=1,2, \cdots, n+1\right)$ ，则 $f(x) \equiv 0$.
已知 5 阶矩阵
$$
A =\left[\begin{array}{lllll}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 1
\end{array}\right], B =\left[\begin{array}{lllll}
5 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right],
$$
试问 $A$ 与 $B$ 是否相似？
设 $A$ 是实对称阵，且 $A$ 的所有特征值 $\lambda_i>0(i=1,2, \cdots, n)$ ．证明存在实对称矩阵 $B$ ，有 $B ^2= A$
定义在实数域上的全体 $n$ 阶方阵所构成的线性空间 $M_n( R )$中，由全体 $n$ 阶上三角矩阵所构成子集 $W$ ，能否成为 $M_n( R )$ 的一个子空间？
在由实数域 $R$ 到实数域 $R$ 的所有函数构成的线性空间 $V$ 中，子集 $W=\{f(x) \mid f(5)=f(2)\}$ 是否为子空间？
设 $\sigma, \tau, \rho$ 均是线性空间 $V$ 的线性变换．若 $\sigma \tau=\tau \sigma$ ，我们称线性变换 $\sigma$ 与 $\tau$ 可交换．试证：（1）若 $\sigma, \tau$ 都与 $\rho$ 可交换，则 $\sigma \tau, \sigma^2$ 也与 $\rho$ 可交换；（2）若 $\sigma$ 与 $\rho$ 可交换，且 $\sigma$ 可逆，则 $\sigma^{-1}$ 与 $\rho$ 也可交换．
设 $V$ 是数域 $F$ 上的一个一维向量空间，试证 $V$ 到自身的映射 $\sigma$ 是线性变换的充分必要条件是对 $\forall \alpha \in V$ ，都有 $\sigma( \alpha )=\lambda \alpha$ ，其中 $\lambda$ 是 $F$ 中一个常数。
设 $A =\left[\begin{array}{ccc}\lambda & 1 & 1 \\ 0 & \lambda-1 & 0 \\ 1 & 1 & \lambda\end{array}\right], b =\left[\begin{array}{l}a \\ 1 \\ 1\end{array}\right]$ ．已知线性方程组 $A x = b$ 存在两个不同的解．
（1）求 $\lambda, a$ ；
（2）求方程组 $A x = b$ 的通解．
计算$ \left|\begin{array}{lllll}
1 & 2 & 2 & 2 & 2 \\
2 & 3 & 1 & 1 & 1 \\
2 & 1 & 3 & 1 & 1 \\
2 & 1 & 1 & 3 & 1 \\
2 & 1 & 1 & 1 & 3
\end{array}\right|$
问 $\lambda, \mu$取何值时，齐次方程组
$$
\left\{\begin{array}{c}
\lambda x_1+x_2+x_3=0 \\
x_1+\mu x_2+x_3=0 \\
x_1+2 \mu x_2+x_3=0
\end{array}\right.
$$
有非零解？
设线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1+a_1 x_2+a_1^2 x_3=a_1^3 \\
x_1+a_2 x_2+a_2^2 x_3=a_2^3 \\
x_1+a_3 x_2+a_3^2 x_3=a_3^3 \\
x_1+a_4 x_2+a_4^2 x_3=a_4^3
\end{array}\right.
$$
（1）若 $a_1, a_2, a_3, a_4$ 两两不相等，则此线性方程组无解；
（2）设 $a_1=a_3=k, a_2=a_4=-k(k \neq 0)$ 且已知 $\beta_1=(-1,1,1)^T, \beta_2=(1,1,-1)^T$ 为方程组的两个解，写出此方程组的通解．
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是方程组 $A x=0$ 的基础解系，试证： $\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3, \alpha_1+2 \alpha_2+4 \alpha_3, \alpha_1+3 \alpha_2+9 \alpha_3$ 也是方程组 $A x=0$ 的基础解系．