单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
直线 $L: \frac{x}{3}=\frac{y}{-2}=\frac{z}{7}$ 和平面 $\pi: 3 x-2 y+7 z-8=0$ 的位置关系是
$\text{A.}$ 直线 $L$ 平行于平面 $\pi$
$\text{B.}$ 直线 $L$ 在平面 $\pi$ 上
$\text{C.}$ 直线 $L$ 垂直于平面 $\pi$
$\text{D.}$ 直线 $L$ 与平面 $\pi$ 斜交
已知当 $n \rightarrow \infty$ 时， $\int_0^1 \frac{x^n}{a+x} d x$ 与 $\frac{1}{3 n}+\frac{1}{b n^2}$ 等价，其中 $a>0$ ，则 $a+b=(\quad$ ）．
$\text{A.}$ 11
$\text{B.}$ 9
$\text{C.}$ 6
$\text{D.}$ 4
设函数 $f(x)$ 为 $[0,1]$ 上的可导函数，且 $\left|f^{\prime}(x)\right|$ 在 $[0,1]$ 上的最大值为 $M$ ．若方程 $f(x)- x+1=0, f(x)+x-1=0$ 在 $(0,1)$ 内均有解，则对于满足条件的函数 $f(x)$ ，均有 $($
$\text{A.}$ $|f(0)|+|f(1)| \leqslant M$ ．
$\text{B.}$ $|f(0)|+|f(1)| \geqslant M$ ．
$\text{C.}$ $|f(0)|+|f(1)|=M$ ．
$\text{D.}$ $|f(0)|+|f(1)| \neq M$ ．
设函数 $f_i(x)(i=1,2)$ 具有二阶连续导数, 且 $f_i^{\prime \prime}\left(x_0\right) < 0(i=1,2)$.若两条曲线 $y=f_i(x)(i=1,2)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处具有公切线 $y=g(x)$, 且该点处曲线 $y=f_1(x)$ 的曲率大于曲线 $y=f_2(x)$ 的曲率, 则在 $x_0$ 的某个邻域内 ，有 ( )
$\text{A.}$ $f_1(x) \leq f_2(x) \leq g(x)$.
$\text{B.}$ $f_2(x) \leq f_1(x) \leq g(x)$.
$\text{C.}$ $f_1(x) \leq g(x) \leq f_2(x)$.
$\text{D.}$ $f_2(x) \leq g(x) \leq f_1(x)$.
已知 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内有定义，在 $x=0$ 的某去心邻域内可导，且极限 $\lim _{x \rightarrow 0} f^{\prime}(x)$ 存在，下列说法正确的为（ ）。
$\text{A.}$ 若极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime}(x)+f(x)}{x}$ 存在，则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导
$\text{B.}$ 若 $\int_0^x f(t) d t$ 在 $x=0$ 处可导，则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导
$\text{C.}$ 若 $f^{\prime}(0)$ 存在，则 $f^{\prime}(0)$ 不一定等于 $\lim _{x \rightarrow 0} f^{\prime}(x)$
$\text{D.}$ 若 $f^{\prime}(0)$ 存在，则极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x^{\frac{1}{3}}}=0$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知动点 $M(x, y, z)$ 到 $x o y$ 面的距离与到点 $(2,1,1)$ 距离相等，则该动点的轨迹方程为
$\int_0^1 x \arcsin (1-x) \mathrm{d} x=$
求曲线 $x^3+y^3-3 x y=0$ 的斜渐近线．
反常积分 $\int_0^{+\infty} \frac{x \ln x}{\left(a^2+x^2\right)^2} d x=$ $\qquad$ $(a>0)$.
设函数 $g(x)$ 二阶可导且满足 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{ e ^x g(x)-x}{x^2}=2, y=y(x)$ 由方程 $x y+y^3+ e ^x g(x)=1$ 确定，则 $y^{\prime \prime}(0)=$
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $a \in R , a \neq 0$ ，求极限 $\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{\left(\sin \frac{1}{a}\right)^{2 n}+a}{a^{2 n}+1}$
$$
\int \ln \left(1+\sqrt{\frac{1+x}{x}}\right) \mathrm{d} x
$$
计算下列定积分：
（1）$I=\int_0^1 x(\arctan x)^2 \mathrm{~d} x$ ．
（2）$I=\int_0^{\pi / 2} \sin x \cdot \ln \sin x \mathrm{~d} x$ ．
设 $m, n$ 为常数，若反常积分 $\int_0^{+\infty} \frac{x^n\left(1-e^{-x}\right)}{(1+x)^m} d x$ 收敛，求 $m, n$ 的取值范围。
在曲线 $y=x^2(x \geq 0)$ 上某点 $M\left(a, a^2\right)$ 处作一条切线 $L$ ，使 $L$ 与曲线及 $x$ 轴所围成平面图形的面积为 $\frac{2}{3}$ ，试求：（1）$a$ 的值；（2）由上述平面图形绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积。
求 $(x+2) y^{\prime \prime}+x\left(y^{\prime}\right)^2=y^{\prime}$ 的通解．
设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上具有连续的二阶导数，满足 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(x)}{x-1}=1$ ，且 $\int_0^1\left[f^{\prime}(x)\right]^2 d x=1$ ，证明：
（ I ） $\int_0^1\left|f^{\prime}(x)\right| d x \leqslant 1$ ；
（II）存在 $\xi \in(0,1)$ ，使得 $f(\xi)+f^{\prime \prime}(\xi)=0$ ．
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x)$ 是 $R$ 上以 $T$ 为周期的周期函数，且连续，证明：
（I）函数 $F(x)=\int_0^x f(t) d t-\frac{x}{T} \int_0^T f(t) d t$ 是以 $T$ 为周期的周期函数；
（II） $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x} \int_0^x f(t) d t=\frac{1}{T} \int_0^T f(t) d t$ 。