单选题 （共 9 题 ），每题只有一个选项正确
函数 ${f}({x})={e}^{x}$ 在 ${x}=0$ 处的泰勒展开式的前三项是
$\text{A.}$ $1+{x}+{x}^2$
$\text{B.}$ $1+{x}+{x}^2 / 2$
$\text{C.}$ $1-{x}+{x}^2$
$\text{D.}$ $1+{x}-{x}^2$
函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1-\sqrt{1+2 x}}{x}, & x \neq 0 \\ k, & x=0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处连续，则 $k=$ ．
$\text{A.}$ -1
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ -2
若函数 $y=2 x^4-3 x^2$ ，则 $y^{\prime}$ 为
$\text{A.}$ $8 x^3-6 x$
$\text{B.}$ $8 x^3-6 x^2$
$\text{C.}$ $4 x^3-3 x$
$\text{D.}$ $4 x^3-3 x^2$
设 $x \rightarrow 0$ 时， $\mathrm{e}^{\tan x}-\mathrm{e}^x$ 与 $x^n$ 是同阶无穷小，则 $n$ 为
$\text{A.}$ 1 ．
$\text{B.}$ 2 ．
$\text{C.}$ 3 ．
$\text{D.}$ 4 ．
当 $x \rightarrow 0^{+}$时，下列无穷小量中，与 $x$ 同阶的无穷小是
$\text{A.}$ $\sqrt{1+x}-1$ ；
$\text{B.}$ $\ln (1+x)-x$ ；
$\text{C.}$ $\cos (\sin x)-1$ ；
$\text{D.}$ $x^x-1$ ．
函数 $y=\cos (2 x)$ 的导数是
$\text{A.}$ $-\sin (2 x)$
$\text{B.}$ $-2 \sin (2 x)$
$\text{C.}$ $\sin (2 x)$
$\text{D.}$ $2 \sin (2 x)$
$\int_0^1(2 x+1) d x$ 的值为
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 5
当 $x \rightarrow 0$ 时，下列无穷小量中与 $x$ 等价的无穷小量是
$\text{A.}$ $\ln (1+2 x)$
$\text{B.}$ $1-\cos x$
$\text{C.}$ $e^x-1$
$\text{D.}$ $\sqrt{1+x}-1$
下列各组函数中，是相同函数的是（ ）．
$\text{A.}$ $f(x)=|x|$ 和 $g(x)=\sqrt{x^2}$
$\text{B.}$ $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$ 和 $y=x+1$
$\text{C.}$ $f(x)=x$ 和 $g(x)=x\left(\sin ^2 x+\cos ^2 x\right)$
$\text{D.}$ $f(x)=\ln x^2$ 和 $g(x)=2 \ln x$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $y=\cos (\ln x)$, 求 $y^{\prime \prime}$;
已知 $x \rightarrow 0$ 时，$\left(1+a x^2\right)^{\frac{1}{3}}-1$ 与 $\cos x-1$ 是等价无穷小，则常数 $a=$
如果
$$
f(x)= \begin{cases}\frac{\sin x}{x}, & x < 0 \\ k, & x=0 \\ \frac{\ln (1+x)}{x}, & x>0\end{cases}
$$
在 $x=0$ 处连续，则 $k=$
$y=f(x)$ 是由方程 $x^3+y^3-\sin x+6 y=0$ 所确定，则 $\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=$
设当 $x \rightarrow 0$ 时，$a x+b x^2+\ln (1+x)$ 与 $x^2$ 是等价无穷小，则 $a=$ ，$b=$
解答题 （共 17 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $y(x)$ 由方程 $y=1-x e^y$ 确定，求 $\left.d y\right|_{x=0}$ 。
求曲线 $y=e^x$ 在点 $(0,1)$ 处的切线方程．
$y=e^x(\sin x+\cos x)$ ，求 $y^{\prime}$
求导 $y=\ln \frac{1-x}{1+x}$ ．
$\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\ln (1+x)}-\frac{1}{x}\right)$
不定积分 $\int \arcsin x d x=$ $\qquad$ ．
求等边双曲线 $y=\frac{1}{x}$ 在点 $\left(\frac{1}{2}, 2\right)$ 处的切线斜率，并写出在该点处的切线及法线方程．
设 $y=x^2 \ln (1+x)$ ，则 $y^{(n)}(0)=$ $\qquad$ $(n \geq 3)$ ．
设 $f(x)=x^2 e^{3 x+2}$ ，求 $f^{(n)}(x)$ ．
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $e ^y+x y= e$ 所确定，求 $y^{\prime}(0), y^{\prime \prime}(0)$ ．
$ y=(\sin x)^{\cos x}$ ，求 $y^{\prime}$ ．
求函数 ${f}({x})={x}^3-3 {x}^2+2 {x}$ 在 ${x}=1$ 处的泰勒展开式。
$\int x \sqrt{1-x^2} d x$
设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，$f(0)=1, f(1)=\frac{1}{2}$ ，且 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 内至多有一个零点，证明：存在 $\xi \in(0,1)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)+f^2(\xi)=0$ ．
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且满足 $f(1)=2 \int_0^{\frac{1}{2}} x e^{1-x} f(x) d x$ ，证明：至少存在一点 $\xi$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=\left(1-\xi^{-1}\right) f(\xi)$