单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
$D$ 是闭区域 $\left\{(x, y) \mid a^2 \leq x^2+y^2 \leq b^2\right\}$ ，则 $\iint_D \sqrt{x^2+y^2} d \sigma=$
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{2}\left(b^3-a^3\right)$
$\text{B.}$ $\frac{2 \pi}{3}\left(b^3-a^3\right)$
$\text{C.}$ $\frac{4 \pi}{3}\left(b^3-a^3\right)$
$\text{D.}$ $\frac{3 \pi}{2}\left(b^3-a^3\right)$
$D$ 是闭区域 $\left\{(x, y) \mid a^2 \leq x^2+y^2 \leq b^2\right\}$ ，则 $\iint_D \sqrt{x^2+y^2} d \sigma=$
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{2}\left(b^3-a^3\right)$
$\text{B.}$ $\frac{2 \pi}{3}\left(b^3-a^3\right)$
$\text{C.}$ $\frac{4 \pi}{3}\left(b^3-a^3\right)$
$\text{D.}$ $\frac{3 \pi}{2}\left(b^3-a^3\right)$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
二次积分 $\int_0^\pi y d y \int_y^\pi \sin \left(x^3\right) d x=$
两次积分 $\int_1^3 \mathrm{~d} x \int_{x-1}^2 e^{y^2} d y=$
设区域 $D: x^2+y^2 \leq 1$ ，则二重积分 $\iint_D \sqrt{1-x^2-y^2} d x d y=$
设区域 $D$ 由闭曲线 $|x|+|y|=1$ 围成，则 $\iint_D(x+y)^3 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$
设区域 $D$ 由闭曲线 $|x|+|y|=1$ 围成，则 $\iint_D(x+y)^3 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$
二次积分 $\int_0^1 \mathrm{~d} y \int_y^1\left(\frac{\mathrm{e}^{x^2}}{x}-\mathrm{e}^{y^2}\right) \mathrm{d} x=$
解答题 （共 16 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算二重积分 $\iint_D\left|y-x^2\right| d x d y$ ，其中 $D:-1 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1$ ．
计算二重积分 $\iint_D \frac{1-x^2-y^2}{1+x^2+y^2} d x d y$ ，其中 $D$ 是由 $x^2+y^2=1, y=0, x=0$ 所围成的区域在第一象限部分．
$\int_0^1\left[\int_x^1 e^{y^2} d y\right] d x$
$\iint_D\left(x^2+y^2\right) d x d y$ ，其中 $D$ 是由 $y=\sqrt{4-x^2}, y=\sqrt{2 x-x^2}$ 及 $x+y=0$ 所围的平面区域。
计算曲面积分 $\iint_{\Sigma} \frac{d S}{z}$ ，其中 $\Sigma$ 是球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 被平面 $z=h(0 < h < a)$ 截出的顶部
计算二重积分
$$
I=\iint_D\left((x+y)^2 \max \{|x+y|,|x-y|\}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
$$
其中积分区域 $D: x^2+y^2 \leq 1$ ．
$\iint \mid x^2+y^2-4| \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $D$ 为圆域 $x^2+y^2 \leq 9$ 。
计算二重积分 $\iint_D e^{-\frac{y^2}{2}} d x d y$ ，其中 $D$ 是由直线 $x=0 、 y=1$ 及 $y=x$ 所围成的区域．
计算二重积分 $\iint_D \frac{x+y}{x^2+y^2} d x d y$ ，其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 1, x+y \geq 1\right\}$ 。
设 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant 1\right\}$ ，计算 $\iint_D\left(x^2-y\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$
设平面有界区域 $D$ 位于第一象限，由曲线 $x y=\frac{1}{3}, x y=3$ 与直线 $y=\frac{1}{3} x, y=3 x$ 围成，计算 $\iint_D(1+x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$.
设平面区域 $D$ 由曲线 $\left(x^2+y^2\right)^2=x^2-y^2(x \geqslant 0, y \geqslant 0)$ 与 $x$ 轴围成，计算二重积分 $\iint_D x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
计算积分 $\iint_D \frac{y^3}{\left(1+x^2+y^4\right)^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是第一象限中曲线 $y=\sqrt{x}$ 与 $x$ 轴为边界的无界区域。
设 $D=\left\{(x, y) \mid(x-1)^2+(y-2)^2 \leqslant 2\right\}$ ，计算二重积分 $\iint_D 2 x+3 y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
计算二重积分 $\iint_D \frac{x+y}{x^2+y^2} d x d y$ ，其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 1, x+y \geq 1\right\}$ 。
计算 $\iint_D y^5 \sqrt{1+x^2-y^6} d x d y$ ，其中 $D$ 是由 $y=\sqrt[3]{x}, x=-1$ 及 $y=1$ 所围成的区域。