单选题 （共 15 题 ），每题只有一个选项正确
若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 6 x+x f(x)}{x^3}=0$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{6+f(x)}{x^2}$ 为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 6
$\text{C.}$ 36
$\text{D.}$ $\infty$
设 $0 < a < b$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a^{-n}+b^{-n}\right)^{\frac{1}{n}}=$
$\text{A.}$ $a$
$\text{B.}$ $a^{-1}$
$\text{C.}$ $b$
$\text{D.}$ $b^{-1}$
极限 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left[\frac{x^2}{(x-a)(x+b)}\right]^x$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ $e$
$\text{C.}$ $e^{a-b}$
$\text{D.}$ $e^{b-a}$
1、若 $\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{1}{x}-\left(\frac{1}{x}-a\right) e^x\right]=1$ ，则 $a$ 等于
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
已知极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\arctan x}{x^k}=c$ ，其中 $k, c$ 为常数， $c \neq 0$ ，则
$\text{A.}$ $k=2, c=-\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $k=2, c=\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $k=3, c=-\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $k=3, c=\frac{1}{3}$
设函数 $f(x)=\arctan x$ ，若 $f(x)=x f^{\prime}(\xi)$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\xi^2}{x^2}=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ $\frac{2}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{3}$
若 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(e^x+a x^2+b x\right)^{\frac{1}{2}}=1$ ，则
$\text{A.}$ $a=\frac{1}{2}, b=-1$
$\text{B.}$ $a=-\frac{1}{2}, b=-1$
$\text{C.}$ $a=\frac{1}{2}, b=1$
$\text{D.}$ $a=-\frac{1}{2}, b=1$
设当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时， $\alpha$ 是 $\Delta x$ 的高阶无穷小，已知函数 $y=x^2 \ln x$ 在任意点 $x$ 处的增量 $\Delta y=$ $\varphi\left(\frac{1}{\ln x}\right) \Delta x+\alpha$, 则 $\varphi(u)=(\quad)$
$\text{A.}$ $(2 u+1) e^u$.
$\text{B.}$ $(2 u-1) e^u$.
$\text{C.}$ $\left(\frac{2}{u}+1\right) \mathrm{e}^{\frac{1}{u}}$.
$\text{D.}$ $\left(\frac{2}{u}-1\right) \mathrm{e}^{\frac{1}{u}}$.
(1) 设 $f(x)$ 满足 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+f(x) \sin 2 x}-1}{e^{x^2}-1}=1$, 则( )
$\text{A.}$ $f(0)=0$
$\text{B.}$ $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0$
$\text{C.}$ $f^{\prime}(0)=1$
$\text{D.}$ $\lim _{x \rightarrow 0} f^{\prime}(x)=1$
若 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^a}{(n+1)^b-n^b}=2022$, 则
$\text{A.}$ $a=-\frac{2021}{2022}, b=\frac{1}{2022}$.
$\text{B.}$ $a=\frac{2021}{2022}, b=-\frac{1}{2022}$.
$\text{C.}$ $a=\frac{2021}{2022}, b=\frac{1}{2022}$.
$\text{D.}$ $a=-\frac{2021}{2022}, b=-\frac{1}{2022}$.
设 $f(1)=0, f^{\prime}(1)=a$, 则极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+2 f\left( e ^{x^2}\right)}-\sqrt{1+f\left(1+\sin ^2 x\right)}}{\ln \cos x}$ 为
$\text{A.}$ $a$
$\text{B.}$ $-a$
$\text{C.}$ $3 a$
$\text{D.}$ $-3 a$
已知连续函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 满足 $\int_0^x f(u) g(u) d u=f(\eta) \int_0^x g(u) d u$ ，其中 $\eta$ 介于 0 和 $x$ 之间，若 $f^{\prime}(0) \neq 0$ ，且 $g(x)>0$ ，则极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\eta}{x}=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}$
极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left[\frac{1}{x} \int_0^x \frac{t^4+2}{\left(t^2+1\right)^2} d t\right]^{2 x}=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $e ^{\frac{\pi}{4}}$
$\text{B.}$ $e ^{\frac{\pi}{2}}$
$\text{C.}$ $e ^{-\frac{\pi}{2}}$
$\text{D.}$ $e ^{-\frac{\pi}{4}}$
设函数 $y=f(x)$ 为周期为 2 的可导函数，则 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{f\left(\frac{x^2+5}{2}\right)-f\left(-\sqrt{\frac{x^2+1}{2}}\right)}{\ln x}=(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{1}{2} f^{\prime}(-1)$
$\text{B.}$ $f^{\prime}(1)$
$\text{C.}$ $\frac{3}{2} f^{\prime}(3)$
$\text{D.}$ $2 f^{\prime}(5)$
$\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \frac{(2 i-1)^2 j^4}{\left(2 n^2-1\right)^4}=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{30}$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{60}$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{120}$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{240}$.
填空题 （共 24 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\arctan x-\sin x}{x^3}=$
$\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^3+x^2+1}{2^x+x^3}(\sin x+\cos x)=$
已知函数 $f(x)$ 连续，且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos [x f(x)]}{\left(e^{x^2}-1\right) f(x)}=1$ ，则 $f(0)=$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e-e^{\cos x}}{\sqrt[3]{1+x^2}-1}=$
$ \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}}(\tan x)^{\frac{1}{\cos x-\sin x}}=$
$\lim _{x \rightarrow 0}\left(2-\frac{\ln (1+x)}{x}\right)^{\frac{1}{x}}=$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^x t \ln (1+t \sin t) \mathrm{d} t}{1-\cos x^2}=$
已知函数 $f(x)$ 满足 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+f(x) \sin 2 x}-1}{e^{3 x}-1}=2$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=$
若 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1-\tan x}{1+\tan x}\right)^{\frac{1}{\sin k x}}=e$ ，则 $k=$
$\lim _{x \rightarrow+\infty} x^2[\arctan (x+1)-\arctan x]=$
$\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{1}{e^x-1}-\frac{1}{\ln (1+x)}\right]=$
极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1+e^x}{2}\right)^{\cot x}=$
$\lim _{x \rightarrow \infty} x^2\left(2-x \sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}\right)=$
已知 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(1+a x^2\right)^{\sin x}-1}{x^3}=6$, 则 $a=$
$ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(\frac{1+x}{\mathrm{e}^x}\right)^{\sin 2 x}-1}{(1-\sqrt{\cos x}) \int_0^x \frac{\sin 2 t}{t} \mathrm{~d} t}=$
设函数 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{x}{n}\right)\left(1+\frac{2 x}{n}\right) \cdots\left(1+\frac{n x}{n}\right)\right]^{\frac{1}{n}}$, 则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=$
$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x^x-1}{\ln x \cdot \ln (1-x)}=$
若 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)}{x}\right)^{\frac{1}{e^x \ln (1+x)+a x+h x^2}}= e$ ，则 $a b=$
$\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{2}{\pi} \arccos x\right)^{\frac{1}{x}}=$ $\qquad$ ．
设 $a \neq \frac{1}{2}$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} \ln \left[\frac{n-2 n a+1}{n(1-2 a)}\right]^n=$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{|x|^{x+2}}{\sqrt{1+x^2}-1}=$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(\mathrm{e}^{x^2}-1\right)\left(\mathrm{e}^{-x^2}-1\right)}{\sqrt{1-x^2}-\cos x}=$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}\left(\frac{\sqrt{1+x^2}}{\sin x}-\frac{1}{\tan x}\right)=$
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1+\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)}{n+1}+\frac{1+\ln \left(1+\frac{2}{n}\right)}{n+\frac{1}{2}}+\cdots+\frac{1+\ln \left(1+\frac{n}{n}\right)}{n+\frac{1}{n}}\right)=$