单选题 （共 12 题 ），每题只有一个选项正确
设 $X$ 是一随机变量, $E(X)=\mu, D(X)=\sigma^2(\mu, \sigma>0$, 且为常数), 则对任意常数 $c$, 必有
$\text{A.}$ $E(X-c)^2=E\left(X^2\right)-c^2$.
$\text{B.}$ $E(X-c)^2=E(X-\mu)^2$.
$\text{C.}$ $E(X-c)^2 < E(X-\mu)^2$.
$\text{D.}$ $E(X-c)^2 \geqslant E(X-\mu)^2$.
设随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)=0.3 \Phi(x)+0.7 \Phi\left(\frac{x-1}{2}\right)$, 其中 $\Phi(x)$ 为标准正态分布函数, 则 $E(X)=$
$\text{A.}$ 0.
$\text{B.}$ 0.3.
$\text{C.}$ 0.7 .
$\text{D.}$ 1 .
设连续型随机变量 $X_1$ 与 $X_2$ 相互独立且方差均存在, $X_1$ 与 $X_2$ 的概率密度分别为 $f_1(x)$ 与 $f_2(x)$, 随机变量 $Y_1$ 的概率密度为 $f_{Y_1}(y)=\frac{1}{2}\left[f_1(y)+f_2(y)\right]$, 随机变量 $Y_2=\frac{1}{2}\left(X_1+X_2\right)$, 则
$\text{A.}$ $E\left(Y_1\right)>E\left(Y_2\right), D\left(Y_1\right)>D\left(Y_2\right)$.
$\text{B.}$ $E\left(Y_1\right)=E\left(Y_2\right), D\left(Y_1\right)=D\left(Y_2\right)$.
$\text{C.}$ $E\left(Y_1\right)=E\left(Y_2\right), D\left(Y_1\right) < D\left(Y_2\right)$.
$\text{D.}$ $E\left(Y_1\right)=E\left(Y_2\right), D\left(Y_1\right)>D\left(Y_2\right)$.
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立, 且 $X \sim N(1,2), Y \sim N(1,4)$, 则 $D(X Y)=$
$\text{A.}$ 6 .
$\text{B.}$ 8 .
$\text{C.}$ 14 .
$\text{D.}$ 15 .
随机试验 $E$ 有三种两两不相容的结果 $A_1, A_2, A_3$, 且三种结果发生的概率均为 $\frac{1}{3}$ 。将试验 $E$ 独立重复做 2 次, $X$ 表示 2 次试验中结果 $A_1$ 发生的次数, $Y$ 表示 2 次试验中结果 $A_2$ 发生的次数, 则 $X$ 与 $Y$ 的相关系数为
$\text{A.}$ $-\frac{1}{2}$.
$\text{B.}$ $-\frac{1}{3}$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}$.
将长度为 1 m 的木棒随机地截成两段, 则两段长度的相关系数为
$\text{A.}$ 1.
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$.
$\text{C.}$ $-\frac{1}{2}$.
$\text{D.}$ -1 .
已知随机变量 $X \sim\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\ \frac{1}{4} & \frac{3}{4}\end{array}\right), Y \sim\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\ \frac{1}{4} & \frac{3}{4}\end{array}\right), E X Y=\frac{5}{8}$, 则 $P\{X+Y \leqslant 1\}$ 等于
$\text{A.}$ $\frac{1}{8}$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{4}$.
$\text{C.}$ $\frac{3}{8}$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}$.
设随机变量 $X \sim B\left(1, \frac{1}{4}\right), Y \sim B\left(1, \frac{1}{3}\right)$, 已知 $P\{X Y=1\}=\frac{1}{12}$, 记 $\rho$ 为 $X$ 和 $Y$ 的相关系数, 则
$\text{A.}$ $\rho=1$.
$\text{B.}$ $\rho=-1$.
$\text{C.}$ $\rho=0$, 但 $X, Y$ 不独立.
$\text{D.}$ $X, Y$ 相互独立.
设随机变量 $X$ 和 $Y$ 都服从正态分布, 且它们不相关, 则
$\text{A.}$ $X$ 与 $Y$ 一定独立.
$\text{B.}$ $(X, Y)$ 服从二维正态分布.
$\text{C.}$ $X$ 与 $Y$ 末必独立.
$\text{D.}$ $X+Y$ 服从一维正态分布.
设随机变量 $X$ 和 $Y$ 的方差存在且不等于 0 , 则 $D(X+Y)=D(X)+D(Y)$ 是 $X$和 $Y$
$\text{A.}$ 不相关的充分条件，但不是必要条件。
$\text{B.}$ 独立的充分条件，但不是必要条件。
$\text{C.}$ 不相关的充分必要条件.
$\text{D.}$ 独立的充分必要条件.
已知随机变量 $X$ 服从标准正态分布, $Y=2 X^2+X+3$, 则 $X$ 与 $Y$
$\text{A.}$ 不相关且相互独立.
$\text{B.}$ 不相关且不相互独立.
$\text{C.}$ 相关且相互独立.
$\text{D.}$ 相关且不相互独立.
已知随机变量 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 相互独立且 $E X_i=\mu, D X_i=\sigma^2>0$, 记 $\bar{X}=$ $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$, 则 $X_1-\bar{X}$ 与 $X_2-\bar{X}$
$\text{A.}$ 不相关且相互独立.
$\text{B.}$ 不相关且相互不独立.
$\text{C.}$ 相关且相互独立.
$\text{D.}$ 相关且相互不独立.