单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
函数 $f(x)=\frac{x(x+1) e^{\frac{1}{x}}}{\ln x^2}$ 的无穷间断点个数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设 $\sin x^n\left(\sqrt{1+x^2}-1\right)+1$ 是 $f(x)$ 的一个原函数, $g(x)=k \int_0^x\left( e ^{t^2}-1\right) d t$, 若 $x \rightarrow 0$ 时 $f(x)$ 与 $g(x)$ 是等价无穷小, 则
$\text{A.}$ $k=6, n=2$
$\text{B.}$ $k=4, n=2$
$\text{C.}$ $k=6, n=3$
$\text{D.}$ $k=4, n=3$
设 $y=y(x)$ 是方程 $x^2 y^2+y=1(y>0)$ 所确定的函数, 则 (. .).
$\text{A.}$ $y(x)$ 有极小值，但无极大值
$\text{B.}$ $y(x)$ 有极大值，但无极小值
$\text{C.}$ $y(x)$ 既有极大值, 又有极小值
$\text{D.}$ $y(x)$ 无极值
设 $f(x)=\int_0^x\left( e ^{\cos t} \cos t-k\right) d t$, 若积分 $\int_a^{a+2 \pi} f(x) d x$ 的值与 $a$ 无关, 则 $k=(\quad)$.
$\text{A.}$ $\int_0^{2 \pi} e ^{\cos x} \cos x d x$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} e ^{\cos x} \cos x d x$
$\text{C.}$ $\int_0^\pi e^{\cos x} \cos x d x$
$\text{D.}$ 0
若 $x \rightarrow 0$ 时 $\frac{\cos x+\ln (1+x)}{1+x}=1+a x+b x^2+o\left(x^2\right)$, 则 ( ).
$\text{A.}$ $a=0, b=-1$
$\text{B.}$ $a=-1, b=0$
$\text{C.}$ $a=1, b=-1$
$\text{D.}$ $a=-1, b=1$
设 $f$ 为二元可微函数, $z=y f\left(\frac{y}{x}, x y\right)$, 则 $\frac{x}{y} \cdot \frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}=(\quad)$.
$\text{A.}$ $f+2 \frac{x}{y} \cdot f_1^{\prime}$
$\text{B.}$ $f-2 \frac{x}{y} \cdot f_1^{\prime}$
$\text{C.}$ $f+2 x y f_2^{\prime}$
$\text{D.}$ $f-2 x y f_2^{\prime}$
微分方程 $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+2 y= e ^{-x}(\cos x+1)$ 的特解形式为 ( ).
$\text{A.}$ $e ^{-x}(a \cos x+b \sin x+c)$
$\text{B.}$ $x e ^{-x}(a \cos x+b \sin x+c)$
$\text{C.}$ $e ^{-x}(a x \cos x+b x \sin x+c)$
$\text{D.}$ $e ^{-x}(a \cos x+b \sin x+c x)$
设 $4 \times 5$ 阶矩阵 $A =\left(\begin{array}{c} \alpha _1^{ T } \\ \alpha _2^{ T } \\ \alpha _3^{ T } \\ \alpha _4^{ T }\end{array}\right)$, 且 $\eta _1=(1,1,-2,1)^{ T }, \quad \eta _2=(0,1,0,1)^{ T }$是齐次线性方程组 $A ^{ T } x =0$ 的基础解系，现有 4 个命题
(1) $\alpha _1, \alpha _3$ 线性无关;
(2) $\alpha_1$ 可由 $\alpha_2, \alpha_3$ 线性表出;
(3)向量组 $\alpha _3, \alpha _4$ 为向量组 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3, \alpha _4$ 的一个极大无关组;
(4) 向量组 $\alpha_1, \alpha_1+\alpha_2, \alpha_3+2 \alpha_4$ 秩为 3 。
以上命题中正确的是 ( ).
$\text{A.}$ . (1)(3)
$\text{B.}$ (2)(4)
$\text{C.}$ (2)(3)
$\text{D.}$ (1)(4)
设 $A$ 为 $n$ 阶方阵; 将 $A$ 的第 3 行的 2 倍加到第 1 行, 然后再将第 1 列的 - 2 倍加到第 3列，得到矩阵为 $B$ ，则 $A$ 和 $B$
$\text{A.}$ 完全相同
$\text{B.}$ 相似又等价，
$\text{C.}$ 合同但不相似
$\text{D.}$ 等价但不一定相似
已知 3 阶矩阵 $A$ 与 3 维列向量 $\alpha$, 若向量组 $\alpha , A , A ^2 \alpha$ 线性无关, 且 $A^3 \alpha=3 A \alpha-2 A^2 \alpha$, 则秩 $r (A)= $ 。
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{\sin x}-e^x}{\sin x-\sin (\sin x)}=$
设 $y=y(x)$ 由 $\left\{\begin{array}{l}x=\ln \left(1+t^2\right), \\ y=\int_1^t \frac{u \sin u^2}{1+u^2} d u\end{array}\right.$ 确定, 则 $\left.\frac{ d ^2 y}{d x^2}\right|_{t=1}=$
设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调可导, $f(0)=-1, f^{-1}$ 为 $f$ 的反函数, 若 $\int_{x^2}^{x^2+f(x)} f^{-1}\left(t-x^2\right) d t=x^2 \sin x$, 则 $f(x)$.
二次积分 $\int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} d y \int_{-y}^{\sqrt{1-y^2}} e^{-\left(x^2+y^2\right)} d x+\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^1 d y \int_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}} e^{-\left(x^2+y^2\right)} d x=$
设三阶常系数齐次线性微分方程有一个特解为 $y= e ^x(1+\cos x)$, 则该方程的表达式为
设 $A$ 是三阶可逆矩阵。 如果 $A^{-1}$ 的特征值为 $1,2,3$ ，则 $A$ 的代数余子式之和 $A_{11}+A_{22}+A_{33}=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $g(x)$ 在 $x=0$ 的某个邻域内连续, 且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{g(x)}{x}=a$, 已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\int_0^1 g(x t) d t}{x}, x < 0, \\ 1, x=0, \\ \frac{a+b \cos x}{x^2}+c, x>0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处连续, 求常数 $a, b, c$ 的值。
设 $f(x)=x^3+a x^2+b x+c$, 若点 $(1,0)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点, 且 $x=2$ 是函数 $f(x)$ 的极值点，（I）常数 $a, b, c$ 的值；（II）求函数 $f(x)$ 的单调性区间和凹凸性区间；（III）求函数 $f(x)$ 的极值.
设 $D=\{(x, y) \mid x \geq 0, y \geq 0, x+y \leq 4\}$, 求函数 $f(x, y)=\left(x^2+y^2\right) e ^{-x-y}$ 在区域 $D$ 上的最大值与最小值.
设连续函数 $f(x)$ 满足 $f(x)=1+\frac{1}{2} \int_x^1 f(y) f(y-x) d y$, 求定积分 $I=\int_0^1 f(x) d x$.
设 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 有二阶连续的导数, 证明: 存在 $\xi \in[-1,1]$ 内使得 $\int_{-1}^1 x f(x) d x=\frac{2}{3} f^{\prime}(\xi)+\frac{1}{3} \xi f^{\prime \prime}(\xi)$.
(1) 设 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+2 x_2^2+6 x_3^2-2 x_1 x_2+2 x_1 x_3-6 x_2 x_3$, 用可逆线性变换将 $f$ 化为规范形, 并求出所用的可逆线性变换. 并说明二次型的对应矩阵 $A$ 是正定矩阵. (II) 设 $A =\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -3 \\ 1 & -3 & 6\end{array}\right)$, 求可逆矩阵 $D$, 使 $A = D ^{ T } D$.