填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
计算 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\sin (x y) \cdot\left(x^2+e^y+1\right)}{1-\sqrt{1+x y}}$.
设 $z=e^{-x} \sin \frac{x}{y}$, 求 $z_x^{\prime}, z_{x y}^{\prime \prime}\left(2, \frac{1}{\pi}\right)$.
计算二重积分 $\iint_D \sin \left(\frac{x}{y}\right) d x d y$, 其中 $D$ 是由直线 $y=x, y=2$ 和曲线 $x=y^3$ 所围成的闭区域。
判别级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \ln ^2\left(1+\frac{1}{n \sqrt[n]{n}}\right)$ 的敛散性。
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $f(x), g(x)$ 满足 $f^{\prime}(x)=g(x), g^{\prime}(x)=2 e^x-f(x)$, 且 $f(0)=0, g(0)=2$, 求 $f(x)$.
将信息分别编码为 $X$ 和 $Y$ 后传递出去, 接收站接收时, $X$ 被误收为 $Y$ 的概率 0.02 , 而 $Y$ 被误收为 $X$ 的概率 0.01 , 信息 $X$ 与信息 $Y$ 传递的频率程度之比为 2:1. 若接收站收到的信息是 $X$,
问 (1) 接收站收到的信息是 $X$ 的概率是多少? (2) 原发信息也是 $X$ 的概率是多少?
设 $z=z(x, y)$ 是由方程 $e^{-x y}-2 z+e^z=0$ 所确定的二元函数, 求 $d z$.
求两直线 $\left\{\begin{array}{l}y=2 x \\ z=x+1\end{array}\right.$ 与 $\left\{\begin{array}{l}y=x+3 \\ z=x\end{array}\right.$ 之间的最短距离。
计算 $\iint_D x y\left[1+x^2+y^2\right] d x d y$, 其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq \sqrt{2}, x \geq 0, y \geq 0\right\}, \quad\left[1+x^2+y^2\right]$ 表示不超过 $1+x^2+y^2$ 的最大整数。
设函数 $f(x)=\arctan \frac{1+x}{1-x}$,
(1) 将 $f(x)$ 展开成 $x$ 的幂级数, 并求收敛域; (2) 利用展开式求 $f^{(101)}(0)$.
已知 $f_n(x)$ 满足 $f_n^{\prime}(x)=f_n(x)+x^{n-1} e^x\left(n\right.$ 为正整数), 且 $f_n(1)=\frac{e}{n}$,求函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)$ 的和。
一实习生用一台机器接连独立地制造三个同样的零件, 第 $i$ 个零件不合格品的概率为 $P_i=\frac{1}{1+i} \quad(i=1,2,3)$, 以 $X$ 表示三个零件中合格品的个数,求:
(1) $X$ 的概率分布;
(2) 平均的合格品数。