解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求球面 $x^2+y^2+z^2=14$ 在点 $(1,2,3)$ 处的切平面及法线方程。
求旋转抛物面 $z=x^2+y^2-1$ 在点 $(2,1,4)$ 处的切平面及法线方程.
求曲线 $\left\{\begin{array}{l}2 x^2+y^2+z^2=45, \\ x^2+2 y^2=z\end{array}\right.$ 在点 $(-2,1,6)$ 处的切线和法平面方程.
确定正数 $\sigma$ 使曲面 $x y z=\sigma$ 与球面 $x^2+y^2+z^2$ $=a^2$ 在点 $M\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 处相切.
设曲面的参数方程为
$$
\left\{\begin{array}{l}
x=\sin \varphi \cos \theta \\
y=4 \sin \varphi \sin \theta,(0 \leq \varphi \leq \pi, 0 \leq \theta \leq 2 \pi) \\
z=4 \cos \varphi
\end{array}\right.
$$
求该曲面在 $\varphi=\frac{\pi}{4}, \theta=\frac{\pi}{4}$ 点处的切平面与法线方程.
求曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2+z^2-3 x=0 \\ 2 x-3 y+5 z-4=0\end{array}\right.$ 在点 $(1,1,1)$ 的切线与法平面.
证明曲面 $F(x-m y, z-n y)=0$ 的所有切平面恒与定直线平行, 其中 $F(u, v)$ 可微.
证明题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
证明: 曲面 $f\left(\frac{x-a}{z-c}, \frac{y-b}{z-c}\right)=0$ 上任一点处的切平面过某一定点，其中 $f(u, v)$ 为可微函数.
证明曲面 $z+\sqrt{x^2+y^2+z^2}=x^3 f\left(\frac{y}{x}\right)$ 上任意点处的切平面在 $O z$ 轴上的截距与切点到坐标原点的距离之比为常数，并求此常数。
已知曲面 $e^{2 x-z}=f(\pi y-\sqrt{2} z)$ ，且 $f$ 可微，证明该曲面为柱面.