解答题 （共 12 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
将 $f(z)=\frac{1}{z-2}+e^{-z}$ 在 $z=0$ 处展开为幂级数, 并指出其收敛半径.
将 $f(z)=\frac{1}{z^3+2 z}$ 在 $1 < |z+1| < +\infty$ 展开为洛朗级数.
求 $a$ 使得 $v(x, y)=a x^2 y-y^3+x+y$ 是调和函数, 并求虚部为 $v(x, y)$ 且满足 $f(0)=1$ 的解析函数 $f(z)$.
求积分 (路径均为逆时针) $\int_C\left(e^z+3 z^2+1\right) d z, C:|z|=2, \operatorname{Re} z < 0$;
求积分 (路径均为逆时针) $\oint_C \frac{d z}{z(z-1)^2(z-5)}, C:|z|=3$;
积分 $\oint_C \frac{d z}{\sin z(z+6)(z-5)}, C:|z|=4$;
积分 $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\cos x}{x^2+2 x+5} d x$;
积分 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d \theta}{\left(1+2 \sin ^2 \theta\right)^2}$.
求方程 $z^8+e^z+6 z+1=0$ 在 $1 < |z| < 2$ 中根的个数, 并说明理由.
利用拉氏变换解微分方程$\left\{\begin{array}{l}
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=t e^t \\
y(0)=y^{\prime}(0)=0
\end{array}\right.$
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f$ 是域 $|z|>r>0$ 上的解析函数. 证明: 如果对于 $|a|>R>r, \lim _{z->\infty} f(z)=f(a)$, 则积分
$$
\int_{|z|=R} \frac{f(z)}{z-a} d z=0
$$