填空题 （共 9 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
四边形 $A B C D$ 为矩形，$A B=\sqrt{2}, A D=3$ ，点 $E$ 为边 $B C$ 上一点，将 $\triangle D C E$ 沿 $D E$ 翻折，点 $C$ 的对应点为点 $F$ ，过点 $F$ 作 $D E$ 的平行线交 $A D$ 于点 $G$ ，交直线 $B C$ 于点 $H$ ．若点 $G$ 是边 $A D$ 的三等分点，则 $F G$ 的长是
如图，四边形 $A B C D$ 为矩形，$A B=3, A D=4, A C, B D$ 为矩形的对角线，$E$ 是 $A D$ 边的中点，点 $F$ 是 $C D$上一点，连接 $E F$ ，将 $\triangle D E F$ 沿 $E F$ 折叠，当点 $G$ 落在矩形对角线上时，则折痕 $E F$ 的长是
在长为 2 ，宽为 $x(1 < x < 2)$ 的矩形纸片上，从它的一侧，剪去一个以矩形纸片宽为边长的正方形（第一次操作）；从剩下的矩形纸片一侧再剪去一个以宽为边长的正方形（第二次操作）；按此方式，如果第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形，则 $x$ 的值为
如图，将矩形纸片 $A B C D$ 折叠，折痕为 $M N$ ，点 $M, N$ 分别在边 $A D, B C$ 上，点 $C, D$ 的对应点分别在 $E$ ， $F$ 且点 $F$ 在矩形内部，$M F$ 的延长线交 $B C$ 与点 $G, E F$ 交边 $B C$ 于点 $H . E N=2, A B=4$ ，当点 $H$ 为 $G N$ 三等分点时，$M D$ 的长为 $\qquad$ ．
在矩形 $A B C D$ 中，$A B=9, A D=12$ ，点 $E$ 在边 $C D$ 上，且 $C E=4$ ，点 $P$ 是直线 $B C$ 上的一个动点．若 $\triangle A P E$是直角三角形，则 $B P$ 的长为
如图，已知在菱形 $A B C D$ 中，$A B=5, A C=8$ ，点 $P$ 是 $A C$ 上的一个动点，过点 $P$ 作 $E F \perp A C$ 交 $A D$ 于点 $E$ ，交 $A B$ 于点 $F$ ，将 $\triangle A E F$ 沿 $E F$ 折叠，使点 A 落在点 $A^{\prime}$ 处，当 $\triangle A^{\prime} C D$ 是直角三角形时，$A P$ 的长为 $\qquad$ ．
已知，拋物线 $y=a x^2+2 a x+b$ 上有两点 $A(-2,4), B(1,0)$ ，将拋物线沿水平方向平移，平移后点 $A$ 的对应点为 $A^{\prime}$ ，点 $B$ 的对应点为 $B^{\prime}$ ，且四边形 $A A^{\prime} B^{\prime} B$ 刚好为菱形，那么平移后的抛物线的顶点坐标为
如图，在菱形 $A B C D$ 中，$\angle D A B=45^{\circ}, A B=4$ ，点 $P$ 为线段 $A B$ 上一动点，过点 $P$ 作 $P E \perp A B$ 交 $A D$ 于点 $E$ ，沿 $P E$ 将 $\angle A$ 折叠，点 A 的对称点为点 $F$ ，连接 $E F, ~ D F, ~ C F$ ，当 $\triangle C D F$ 为等腰三角形时，$A P$ 的长为 $\qquad$
在矩形 $A B C D$ 中，$A D=5, A B=4$ ，点 $E, F$ 在直线 $A D$ 上，且四边形 $B C F E$ 为菱形，若线段 $E F$的中点为点 $M$ ，则线段 $A M$ 的长为 $\qquad$ ．