解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
按规定，某种型号的电子元件的使用寿命超过 1500 小时的为一级品．已知某一大批产品的一级品率为 0.2 ，现随机地抽查 20 件产品，问这 20 件产品中恰有 $k(k=0,1, \cdots, 20)$ 件一级品的概率是多少。
某人进行射击，设每次射击的命中率为 0.02 。现独立的重复射击 400 次，求至少击中两次的概率。
某人口袋里放有两盒火柴，每盒装有火柴 $n$ 根．他每次随机取出一盒，并从中拿出一根火柴使用．试求他取出一盒，发现已空，而此时另一盒中尚余 $r$ 根火柴的概率．
假设一块放射性物质在单位时间内发射出的 $\alpha$ 粒子数 $\xi$ 服从参数为 $\lambda$ 的Poisson分布。而每个发射出来的 $\alpha$ 粒子被记录下来的概率是 $p$ ，就是说有 $q=1-p$ 的概率被记数器漏记。如果各粒子是否被记数器记录是相互独立的，试求记录下来的 $\alpha$ 粒子数 $\eta$ 的分布。
设 $X$ 表示某种电子元件的寿命，$F(x)$ 为其分布函数。若假设元件无老化，即元件在时刻 $x$ 正常工作的条件下，其失效率保持为某个常数 $\lambda$ ，与 $x$ 无关。试证明 $X$ 服从指数分布。