解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
袋中有 5 张外形相同的卡片，其中 3 张写上数字＂ 0 ＂，另 2 张写上＂ 1 ＂。现从袋中任取两张卡片，分别以 $\xi, \eta$ 表示第一张和第二张卡片上的数字，试求分别在有放回和不放回两种情形下 $(\xi, \eta)$ 的联合分布律及边际分布律．
设 $(X, Y)$ 的联合概率密度有形式 $\left(\forall(x, y) \in R ^2\right)$
$$
f(x, y)=\frac{1}{2 \pi \sigma_1 \sigma_2 \sqrt{1-\rho^2}} \exp \left\{-\frac{1}{2\left(1-\rho^2\right)}\left[\frac{(x-a)^2}{\sigma_1^2}-2 \rho \frac{(x-a)(y-b)}{\sigma_1 \sigma_2}+\frac{(y-b)^2}{\sigma_2^2}\right]\right\}
$$
其中 $-\infty < a, b < \infty ; 0 < \sigma_1, \sigma_2 < \infty ;-1 \leq \rho \leq 1$ ．则称 $(X, Y)$ 服从参数为 $a, b, \sigma_1, \sigma_2, \rho$ 的二元正态分布，记为 $N\left(a, b, \sigma_1^2, \sigma_2^2, \rho\right)$ ．试计算 $X$ 和 $Y$ 的边际概率密度。
设 $X=\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right) \sim M\left(N ; p_1, p_2, \ldots, p_n\right)$ ，试求 $X_1$ 在给定 $X_2=k$ 的条件下的条件分布律。
设 $(X, Y)$ 服从二元正态分布 $N\left(a, b, \sigma_1^2, \sigma_2^2, \rho\right)$ ，试求 $X \mid Y=y$ 的条件概率密度。
设 $X, Y$ 服从单位圆上的均匀分布，试求 $f_{X \mid Y}(x \mid y)$ 和 $f_{Y \mid X}(y \mid x)$ 。
设 $\left(X_1, \cdots, X_n\right)$ 服从多项分布 $M\left(N ; p_1, \ldots, p_n\right)$ ，求 $Y=X_1+X_2$ 的分布律。
设 $X \sim N(0,1)$ ，求 $Y=X^2$ 的概率密度。
设 $X$ 服从期望为 2 的指数分布，$Y \sim U(0,1)$ ，且 $X$ 和 $Y$ 相互独立。求 $X-Y$ 的概率密度和 $P(X \leq Y)$ 。
设随机变量 $\xi$ 与 $\eta$ 相互独立，同服从参数 $\lambda=1$ 的指数分布，试求 $\frac{\xi}{\eta}$ 的密度函数．