解答题 （共 11 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求 $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{1}{x} \cdot \frac{a^x-1}{a-1}\right)^{\frac{1}{x}}$ ，其中 $a>0, a \neq 1$ ．
求不定积分 $\int \frac{ d x}{y^2}$ ，其中 $y^2(x-y)=x^2$ ．
设二阶线性微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=c e^x(a, b, c$ 均为常数）有特解 $y=e^{-x}\left(1+x e^{2 x}\right)$ ，求此方程的通解．
设函数 $u=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ ，求函数 $u$ 在点 $M(1,1,1)$ 处沿曲面 $2 z=x^2+y^2$ 在点 $M$ 处的外法线方向 $\vec{n}$ 的方向导数 $\left.\frac{\partial u}{\partial \vec{n}}\right|_M$.
设曲线 $\Gamma$ 是平面 $x+y+z=1$ 与球面 $x^2+y^2+z^2=1$的交线，试求曲线积分 $\oint_{\Gamma}\left(x+y^2\right) d s$ ．
设当 $x>0$ 时，方程 $k x+\frac{1}{x^2}=1$ 有且仅有一个解，求 $k$的取值范围．
求最小的实数 $C$ ，对于连续函数 $f(x)$ ，总有以上不等式成立 $\int_0^1 f(\sqrt{x}) d x \leq C \int_0^1|f(x)| d x$ ．
设 $\left\{\begin{array}{l}z=u x+y \varphi(u)+\psi(u), \\ 0=x+y \varphi^{\prime}(u)+\psi^{\prime}(u),\end{array}\right.$ 其中函数 $z=z(x, y)$ 具有二阶连续偏导数，证明：$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} \cdot \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} / \neg\left(\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}\right)^2=0$ ．
设球 $\Omega_1: x^2+y^2+z^2 \leq R^2$ 和球 $\Omega_2: x^2+y^2+z^2$ $\leq 2 R z(R>0)$ 的公共部分体积为 $\frac{5 \pi}{12}$ 时，求 $\Omega_1$ 的表面位于 $\Omega_2$ 内的部分 $S_1$ 的面积．
设 $y_1(x)=(-1)^{n+1} \frac{1}{3(n+1)^2}(n \pi \leq x < (n+1) \pi)$ ， $n=0,1,2, \cdots, y_2(x)$ 是方程 $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}-y=e^{-x} \sin x$ 满足条件 $y(0)=0, y^{\prime}(0)=-\frac{1}{3}$ 的特解，求广义积分
$$
\int_0^{+\infty} \min \left\{y_1(x), y_2(x)\right\} d x
$$
设 $A=\iint_S x^2 z d y d z+y^2 z d z d x+x z^2 d x d y$ ，其中 $S$ 是曲面 $a z=x^2+y^2(0 \leq z \leq a)$ 的第一卦限部分上侧，求满足 $f(0)=A, f^{\prime}(0)=-A$ 的二阶可导函数 $f(x)$ ，使得 $y\left(f(x)+3 e^{2 x}\right) d x+f^{\prime}(x) d y$ 是某个二元函数的全微分．