解答题 （共 13 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}}{2}\right)^n, a, b>0$ ．
求 $\lim _{n \rightarrow \infty} n(\sqrt[n]{n}-1)$ ．
设 $x_1=1, x_n=1+\frac{x_{n-1}}{x_{n-1}+1}$ ，求 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ ．
设 $s_n=1+2 x+3 x^2+\cdots+n x^{n-1}$ ，当 $|x| < 1$ 时，求 $\lim _{n \rightarrow \infty} s_n$ ．
求 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n!} \sin \frac{1}{n}$ ．
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{n+n}\right)$;
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^p+2^p+\cdots+n^p}{n^{p+1}},(p \geqslant 1)$;
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}\right)$;
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{3^{\frac{1}{n}}}{n+1}+\frac{3^{\frac{2}{n}}}{n+\frac{1}{2}}+\cdots+\frac{3^{\frac{n}{n}}}{n+\frac{1}{n}}\right)$.
计算 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n+1}{n^2+1}+\frac{n+2}{n^2+4}+\frac{n+3}{n^2+9}+\cdots+\frac{n+n}{n^2+n^2}\right)$ ．
计算 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \frac{i j}{n^4}$ ．
求 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\left(1-\frac{1}{3^2}\right) \cdots\left(1-\frac{1}{n^2}\right)$;
$ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdots(2 n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \cdots(2 n)} $