单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
设 $I_1=\iint_{x^2+y^2 \leqslant 1}\left(x^2+y^2\right) d \sigma, I_2=\iint_{|x|+|y| \leqslant 1} 2|x y| d \sigma, I_3=\iint_{|x|+|| | \leq 1}\left(x^2+y^2\right) d \sigma$ ，则
$\text{A.}$ $I_1 < I_2 < I_3$
$\text{B.}$ $I_2 < I_3 < I_1$
$\text{C.}$ $I_3 < I_1 < I_2$
$\text{D.}$ $I_3 < I_2 < I_1$
设 $I_1=\iint_D \cos \sqrt{x^2+y^2} d \sigma, I_2=\iint_D \cos \left(x^2+y^2\right) d \sigma, I_3=\iint_D \cos \left(x^2+y^2\right)^2 d \sigma$ ，其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant 1\right\}$ ，则
$\text{A.}$ $I_3>I_2>I_1$
$\text{B.}$ $I_1>I_2>I_3$
$\text{C.}$ $I_2>I_1>I_3$
$\text{D.}$ $I_3>I_1>I_2$
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
$\iint_D \sqrt{\mid y-x^2} \mid d x d y, \quad D:\left\{\begin{array}{l}|x| \leqslant 1 \\ 0 \leqslant y \leqslant 2\end{array}\right.$ ；
$\iint_D \| x+y \mid-2 d x d y, \quad D:\left\{\begin{array}{l}0 \leqslant x \leqslant 2 \\ |y| \leqslant 2\end{array}\right.$ ；
$\iint_D\left|x^2+y^2-2 y\right| d \sigma$ ，其中 $D$ 由 $x^2+y^2 \leqslant 4$ 所确定．
计算 $I=\iint_D[x+\sin (x y)] d x d y, D:\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant 2, x \geqslant 1\right\}$ ．
计算 $I=\iint_D(x+y)^3 d x d y, D$ 是由 $x=\sqrt{1+y^2}, x+\sqrt{2} y=0, x-\sqrt{2} y=0$ 所围成的图形。
计算 $I=\iint_D(x+y) d \sigma, D$ 是由 $y=4 x^2, y=x^2$ 与 $y=1$ 所围成的图形．
计算 $\iint_D y^2 d \sigma$ ，其中 $D$ 由 $\left\{\begin{array}{l}x=a(t-\sin t) \\ y=a(1-\cos t)\end{array}(0 \leqslant t \leqslant 2 \pi)\right.$ 与 $y=0$ 围成．
设 $f(x, y)$ 在单位圆 $x^2+y^2 \leqslant 1$ 上有连续一阶偏导数，且在边界上取值为零，证明：$f(0,0)=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\left(-\frac{1}{2 \pi}\right) \iint_D \frac{x f_x+y f_y}{x^2+y^2} d x d y$ ，其中 $D$ 为圆环域 $\varepsilon^2 \leqslant x^2+y^2 \leqslant 1$ ．