解答题 （共 16 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
解方程 $\frac{ d y}{d x}=\frac{1}{2} \tan ^2(x+2 y)$ ；
解方程 $x y^{\prime}-y(\ln x y-1)=0$ ；
解方程 $x y^{\prime}+x+\sin (x+y)=0$ ；
解方程 $y^{\prime}+x y^2-y^2=1-x$ ；
解方程 $\left(1+ e ^{-\frac{x}{y}}\right) y d x+(y-x) d y=0$ ；
解方程 $\left(x y^{\prime}-y\right) \arctan \frac{y}{x}=x$
解方程 $x y^{\prime}+y=2 \sqrt{x y}$
解方程 $y^{\prime}=\frac{x+y-1}{2 x-y+2}$
设方程 $y^{\prime}=\frac{y}{x}+\varphi\left(\frac{x}{y}\right)$ 的通解为 $y=\frac{x}{\ln C x}$ ，求 $\varphi\left(\frac{x}{y}\right)$ 的表达式．
解方程 $(x+1) y^{\prime}-n y=(x+1)^{n+1} x \sin x^2$ ；
解方程 $y^{\prime}=\frac{x}{\cos y}-\tan y$ ；
解方程 $\frac{ d y}{d x}=\frac{y}{2 x-y^2}$ ．
求微分方程 $3 y^{\prime}-y \sec x=y^4 \tan x$ 的通解．
求方程 $\left(2 x^2-3 x^2 y-x y^2\right) \frac{ d y}{d x}+y^3=0$ 的通解．
求微分方程 $y^{\prime}-\frac{2}{x} y=\sqrt{y} x^3$ 的通解．